Beconの備忘録

院試対策公式まとめ(微分積分-微分編）

用語
- 微分可能
  
  右微分係数 $y'(a+0) = \lim_{h → +0} \frac{y(a+h) - y(a)}{h}$
  左微分係数 $y'(a-0) = \lim_{h → -0} \frac{y(a+h) - y(a)}{h}$ が一致する時、
  y(t)がt=aで微分可能という。
- 微分作用素（微分演算子)
  
  関数に対して微分操作を作用させることを表す。 $\frac{d}{dx}$ のように表す。
- 連続微分可能
  
  $f^{n}(x)$ が連続であること。そのような関数をまとめて $C^{n}$ 級に属しているとも言える。
- マクローリン展開
  
  $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2!} f''(0) x^{2} + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(0) x^{n} + R_{n+1}(x)$
  また、 $R_{n+1}(x) = \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) x^{n+1} \quad (0 \lt c \lt x)$
  という表現をラグランジュの剰余項という。 $R_{n+1}(x) = \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\theta x ) x^{n+1} \quad (0 \lt \theta \lt 1)$ とも表せる。
- ランダウの記号
  
  ある関数f(x)について、 $\lim_{x→0} \frac{f(x)}{x^{n}}$ = 0 の時、
  $f(x) =$ o $(x^{n})$ と表す。
  またx→0として、 $0 \lt |\frac{f(x)}{x^{n}}| \lt M$ (Mはxによらない)となる時、
  $f(x) =$ O $(x^{n})$ と表す。
  これを用いると、 $R_{n+1}(x)$ は o $(x^{n})$ または O $(x^{n+1})$ と表せる。
- テイラー展開
  
  マクローリン展開において0→a x →x-aとおいたもの
  $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{1}{2!} f''(a) (x-a)^{2} + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(a) (x-a)^{n} + R_{n+1}(x)$
  $R_{n+1}(x) = \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(a + \theta (x - a) ) (x-a)^{n+1} \quad (0 \lt \theta \lt 1)$
  ランダウの記号を用いると、
  $R_{n+1}(x)$ は o( $(x-a)^{n}$ ) または O ( $(x-a)^{n+1}$ )と表せる。
- テイラー級数
  
  $\lim_{n → ∞} R_n (x) = 0$ なら、
  
  $f(x) = \sum_{k = 0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)} {k!} x^{k}$
  と無限級数の形で表せる。これをマクローリン級数という。
  また、
  $f(x) = \sum_{k = 0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)} {k!} (x-a)^{k}$
  の形をテイラー級数という。
定理
- 定理1 微分操作の線型性
  
  1) $\alpha$ を定数として、 $\frac{d}{dx}$ { $\alpha f(x)$ } $= \alpha \frac{d}{dx} f(x)$
  2) $\frac{d}{dx}$ { $f(x) \pm g(x)$ } $= \frac{df(x)}{dx} \pm \frac{dg(x)}{dx}$
  3) $\frac{d}{dx}$ { $f(x)g(x)$ } = $\frac{df(x)}{dx} g(x)$ + $f(x)\frac{dg(x)}{dx}$
  4) $\frac{d}{dx}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\frac{1}{g^{2} (x)}$ { $\frac{df(x)}{dx} g(x)$ - $f(x)\frac{dg(x)}{dx}$ }
- 定理２　合成関数の微分
  
  合成関数 $y = g(f(x))$ に対して $y = g(z),z=f(x)$ と書くと、
  $\frac{dy}{dx} = \frac{dg(z)}{dz} \frac{df(x)}{dx}$
- 定理3 逆関数の微分
  
  $\frac{df^{-1}(y)}{dy} = \frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}$
- 定理4 ライプニッツの公式
  
  $\frac{d^{n}}{dx}$ { $f(x) g(x)$ }= $\sum_{k = 0}^{n}\ _n C_k$ $f^{(k)} g^{(n-k)}$
- 定理5 微分による関数の近似
  
  $f(a+ \Delta x ) \approx f(a) + f'(a) \Delta x$
- 定理6 平均値の定理
  
  関数f(x)が区間[a,b]で連続、(a,b)で微分可能とする。このとき(a,b)上に
  
  $f'(c) = \frac{ f(b) - f(a) }{b - a}$
  となる点cが少なくとも１つ存在する。これを利用すると、
  $f(a + \Delta x) = f(a) + f'(c) \Delta x \quad (a \lt c \lt a + \Delta x)$
  これを拡張すると、Cauchyの平均値の定理が得られる。
  $\frac{ g(b) - g(a) }{f(b)- f(a)} = \frac{ g'(c)}{f'(c)} \quad (a \lt c \lt b)$
- 定理7 ロピタルの公式
  
  f(x),g(x)がx=0の近傍で微分可能であり、 $f(x) \neq 0$ とする。 f(0) = g(0) = 0として $\frac{ g'(c)}{f'(c)}$ のx→0の極限が存在するとき、
  $\lim_{x→0} \frac{ g(x)}{f(x)} = \lim_{x→0} \frac{ g'(x)}{f'(x)}$
- 定理8 ニュートンの方法
  
  f(x) = 0の方程式の解の近似値を求めるときに使える数値解析的方法。 f(x)が[a,b]で下に凸で、f(a) > 0, f(b) < 0,区間内の唯一の解をx=αとする。
  このとき、x=aにおけるy = f(x)の接線とx軸の交点 $a_1$ は、
  $a_1 = a - \frac{f(a)}{f'(a)} \quad (a \lt a_1 \lt \alpha)$
  と表せる。
  $a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} \quad (a_n \lt a_{n+1} \lt \alpha)$
  という数列を考えると、αを上界にもつ、単調増加数列となる。 nを大きくしていくと、精度のよい近似解となる。