Beconの備忘録

院試対策〜線形代数:計量線型空間編

用語
- 固有関数
  
  $\frac{d}{dt} x(t) = \lambda x(t)$ を満たすような $x(t)$ を微分演算子 $\frac{d}{dt}$ の固有関数という。
- 正規直交関係
  
  $\int_{a}^{b} dx \rho (x) \bar{ \phi }_n (x) \phi_m(x) = \delta_{nm}$ を満たす関係
  ここで関数系{ $\phi_n(x)$ }に対して定められた $\rho (x)$ (>0) を重み関数といい、このような展開をフーリエ式展開という。
- ２乗可積分
  
  $\int_{a}^{b} dx \rho (x) | u(x)|^{2} dx$ が有限な確定値を持つとき、u(x)を２乗可積分という。
- 軽量線型空間
  
  関数系{ $\phi_n (x)$ }により、2乗可積分関数 $u(x),v(x)$ が、 $u(x) = \sum_{n} u_n \phi_n (x)$ , $v(x) = \sum_{n} v_n \phi_n (x)$ と一意に展開できるとする。
  線型独立な正規直交基底(または正規直交関数系)に、
  内積: $(u, v) \equiv \int_{a}^{b} \rho (x) \bar{u}(x) v(x)dx$
  ノルム: $||u|| = \sqrt{ (u,u) }$
  が定義され、以下の1)~4)を満足するような基底(または関数系)の集合
  1) $( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y_1} + \boldsymbol{y_2} ) = ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y_1} ) + ( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y_2} )$
  $\quad ( \boldsymbol{x_1} + \boldsymbol{x_2} , \boldsymbol{y} ) = ( \boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{y} ) + ( \boldsymbol{x_2} , \boldsymbol{y} )$
  2) $(c \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \bar{c} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ , $\quad ( \boldsymbol{x}, c \boldsymbol{y}) = c (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$
  3) $( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} ) = \bar{ (\boldsymbol{y} ,\boldsymbol{x} ) }$
  4) $( \boldsymbol{x} ,\boldsymbol{x} ) \geq 0$ であり、 $( \boldsymbol{x} ,\boldsymbol{x} )$ = 0 $\Longleftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$
- ルジャンドル多項式
  
  多項式 $g_n (x) = x^{n} \quad (n=0,1,2 \cdots )$ をグラム-シュミットの直交化法によって直交関数系にしたものを $f_n (x)$ とする。このとき、 $f_n (x) = \sqrt{\frac{2n+1}{2}} P_n (x)$ としたときの $P_n(x)$
- ２乗平均誤差
  
  正規直交関数系{ $\phi_n (x)$ }によって、適当な係数 $\alpha_n$ をもつ有限級数 $S_N (x) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n \phi_n (x)$ でu(x)に近似させるときの、近似の精度としての目安
  
  $\Delta_N^{2} = \int_{a}^{b} dx \rho (x) | u(x) - S_N (x)|^{2}$
  
  $\Delta_N^{2}$ は、 $\alpha_n = u_n$ の時、最も小さくなる。
- ベッセルの不等式、パーセバルの等式
  
  関数系{ $\phi_n (x)$ }により、2乗可積分関数 $u(x)$ が、 $u(x) = \sum_{n} u_n \phi_n (x)$ と一意に展開できるとき、
  
  $||u||^{2} ≥ \sum_{n=1}^{∞} |u_n |^{2}$
  
  が成り立ち、ベッセルの不等式という。
  等号が成り立つときはパーセバルの等式という。
- 完全(完備)
  
  任意の関数についてパーセバルの等式が成立するとき、正規直交関数系{ $\phi_n (x)$ }は完全または完備という。
  つまり、２乗平均誤差をゼロにすることができる。また関数系{ $\phi_n (x)$ }の展開により、ノルムが変わらないとも言える。
- フーリエ級数展開
  
  区間[-π,π]において関数f(x)を三角関数で展開する。
  $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{∞} (a_n cos nx + b_n sin nx)$
  $a_0 = \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π}dx f(x)$
  $a_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π}dx f(x) cos nx$
  $b_0 = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π}dx f(x) sin nx$
- 複素フーリエ級数展開
  
  　 $u(x) = \sum_{-∞}^{∞}c_n e^{inx} \quad (-π ≤ x ≤ π)$
  $c_n = \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π}dx u(x) e^{-inx}$
  
  u(x)と $c_n$ には、
  
  $\frac{1}{2π} \int_{-π}^{π} | u(x)|^{2} dx = \sum_{-∞}^{∞} | c_n |^{2}$
  が成り立つ。
定理
- 定理1 内積、ノルムの性質
  
  1) ||u|| ≥ 0, 特に||u||=0 $\Longleftrightarrow$ u(x) = 0
  2) ||u+v||≤||u|| + ||v||
  3) | (u,v) | ≤ ||u||・||v||
- 定理2 グラム-シュミットの直交化法
  
  内積に関して直交していない関数系から、内積に関して正規化された直交関数系を作る方法。
  直交していない関数系を{ $\boldsymbol{a}_m$ },正規化された直交関数系を{ $\boldsymbol{e}_m$ }とすると、
  { $\boldsymbol{a}_m$ } $\Longrightarrow \boldsymbol{e}_0 = \frac{ \boldsymbol{a}_0}{|| \boldsymbol{a}_0 || }$
  $\cdots$
  $\boldsymbol{a'}_m = \boldsymbol{a}_m$ $- \sum_{k=0}^{m-1} \boldsymbol{e}_k ( \boldsymbol{e}_k , \boldsymbol{a}_m )$
  $\boldsymbol{e}_m = \frac{ \boldsymbol{a'}_m }{ || \boldsymbol{a'}_m || }$
  $\Longrightarrow$ { $\boldsymbol{e}_m$ }