Beconの備忘録

院試対策〜微分積分:積分編

用語
- リーマン積分可能
  
  関数f(x)が閉区間[a,b]で連続であり、f(x)≥0とする。区間[a,b]を $a= x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_{n-1} \lt x_n = b$ とn個の小さな区間[ $x_{k -1} , x_k$ ]に分割する。
  そして[ $x_{k -1} , x_k$ ]から１点 $\xi_k$ をとる。また、[ $x_{k -1} , x_k$ ]における最大値を $M_k$ ,最小値を $m_k$ とする。ここで、
  
  $R_n = \sum_{k=1}^{n} m_k \Delta x_k$
  $S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k$
  $T_n = \sum_{k=1}^{n} M_k \Delta x_k$
  
  とおく。この $S_n$ をリーマン和という。このとき、 $R_n ≤ S_n ≤ T_n$ が成り立ち、はさみうちの原理により, $\lim_{n→∞} R_n = \lim_{n→∞} S_n = \lim_{n→∞} T_n = S$ が成り立つ。この極限値Sをaからbまでの定積分といい、 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ と表す。 (aを下限,bを上限という)
  このような極限が存在するとき、f(x)は[a,b]でリーマン積分可能という。
- 区分的に連続
  
  [a,b]上で有限個の点 $c_1,c_2 ,\cdots,c_n$ を除いて連続で、各点 $c_k$ で左右の極限値 $\lim_{x → c_k \pm 0} f(x)$ ,aで右極限値 $\lim_{x → a + 0} f(x)$ ,bで左極限値 $\lim_{x → b - 0} f(x)$ が存在すること。
- ディレクレ関数
  
  有理数の点で1,無理数の点で0をとる関数
  この関数はリーマン積分できない。
- 広義積分
  
  (a,b]で連続であり、x=aで連続でない関数f(x)に対して極限 $\lim_{\epsilon → 0} \int_{a+ \epsilon}^{b}f(x)dx$ が存在するとき、それを $\int_{a}^{b}f(x)dx$ と定義し、広義積分という。
  $\lim_{R → ∞} \int_{a}^{R}f(x)dx$ が存在するときも広義積分といい、 $\int_{a}^{∞}f(x)dx$ と定義する。
定理
- 定理1
  
  関数f(x)は[a,b]で区分的に連続ならばリーマン積分可能で、 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ が存在する。
- 定理2 定積分の性質
  
  1)
  
  $\int_{a}^{b}$ { $c_ 1 f(x) + c_2 g(x)$ } $dx = c_1 \int_{a}^{b} f(x) dx + c_2 \int_{a}^{b} g(x)dx$
  
  2) a<c<bのとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$
  
  3) [a,b]でf(x)≥g(x）のとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx ≥ \int_{a}^{b}g(x)dx$
  
  特にf(x)≥0のとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0$
  
  4)
  | $\int_{a}^{b}f(x)dx$ | $≤ \int_{a}^{b} |f(x)| dx$
  5) 関数f(x)が[a,b]で連続なとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c) (b -a) \quad (a \lt c \lt b)$
  となるcが存在する。 (平均値の定理)
  6) シュワルツの不等式
  
  $( \int_{a}^{b}f(x)g(x) dx )^{2} ≤ \int_{a}^{b}f(x)^{2}dx \int_{a}^{b}g(x)^{2}dx$
- 定理3 微積分学の基本定理
  
  F(x)をf(x)の原始関数とすると、
  
  $\frac{dF(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(x)dx = f(x)$
  $F(\beta) - F(\alpha) = \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$
- 定理4 広義積分の存在判定
  
  1) 関数f(x)が(a,b]で連続なとき、ある数 $\lambda \lt 1$ , a < x ≤ bに対して、
  
  $| f(x) | ≤ \frac{M}{(x-a)^{\lambda} }$
  となる定数Mがとれる時、 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ が存在。 2) 関数f(x)が[a,∞)で連続なとき、ある数 $\lambda \gt 1$ , a ≤ x に対して、
  
  $| f(x) | ≤ \frac{M}{|x|^{\lambda} }$
  となる定数Mがとれる時、 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ が存在。