Beconの備忘録

院試対策〜線形代数:行列基本編

用語
- 転置行列
  
  $A = a_{ij} \quad$ m×n行列とするとき、
  (i,j)成分が $a_{ji}$ である行列。 $A^{T}$ と表す。
- n次正方行列
  
  (n × n)の行列。　nを正方行列の次数という。
- 正則行列
  
  $XA = AX = E_n$ となるn次正方行列Xをもつn次正方行列A
  このXをAの逆行列といい、 $A^{-1}$ と書く。
  ※逆行列があれば一意である。（存在しない場合もある。）
- 対角行列
  
  　対角成分以外が全て0である行列。
- 対角和
  
  対角成分の和で、 $Tr A = \sum_{a=1}^{n} a_{ii}$ と表す。
- 基本変形
  
  1) ${}$
  $$ P(i;c)= \begin{pmatrix} 1& \\ &\ddots & \\ & & c &\\ & & & \ddots &\\ & & & & 1 \end{pmatrix} $$
  対角成分のうち、(i,i)成分がcで他が1であるような行列。
  この行列を左(右)からかけると第i行(列)目が全てc倍される。
  2) ${}$
  $$ Q(i→j;c)= \begin{pmatrix} 1& \\ &\ddots & \\ & & 1 &\\ & & \vdots & \ddots &\\ & & c & \cdots & 1 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} $$
  全ての対角成分が１で、(j,i)成分がcであるような行列。
  この行列を左(右)からかけると第i行(列)目のc倍が第j行(列)目に加えられる。
  3) ${}$
  $$ I_{ij}= \begin{pmatrix} 1& \\ &\ddots & \\ & & 0 & \cdots & 1 &\\ & & \vdots & \ddots & \vdots &\\ & & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} $$
  対角成分のうち、(i,i)成分と(j,j)成分が0で他が1、(i,j)成分と(j,i)成分が1であるような行列。
  この行列を左(右)からかけると第i行(列)目と第j行(列)目が入れかわる。
  
  1) ~ 3)で左(右)からかける操作を行(列)に関する基本変形という。
  基本変形行列は正則であり、
  $P(i;c)^{-1} = P(i,1/c)$
  $Q(i→j;c)^{-1} = Q(i→j;-c)$
  $I_{ij}^{-1} = I_{ij} \quad$ である。
- 階数(rank)
  
  行に関する基本変形によって単位行列とならずに ${}$
  $$ \begin{pmatrix} 1& \\ &\ddots & \\ & & 1 &\\ & & & 0 & \\ & & & & \ddots &\\ & & & & & 0 \end{pmatrix} $$
  のようにr+1~n行が0になってしまうときのrを行列Aの階数という。どのような基本変形をしても階数は一意。
- エルミート行列（自己随伴行列)
  
  $a_{ij} = \bar{a}_{ji}$ が成り立つ行列のこと。 $A^{\dagger} = A$ と表せる。
  ( $A^{\dagger}$ をAのエルミート共役という。)
  Aの成分が実数であれば、 $A^{T} = A$ となるので、(実)対称行列と呼ぶ。 $(A\boldsymbol{v} , \boldsymbol{u}) = ( \boldsymbol{v}, A^{\dagger} \boldsymbol{u})$ が成り立つ。
- ユニタリ行列
  
  $U U^{\dagger} = E$ を満たす行列U
  Uの成分が実数であるときは、直交行列と呼ぶ。回転行列はユニタリ行列となっている。
正規行列

$A A^{\dagger} = A^{\dagger} A$ を満たす行列A
エルミート行列、ユニタリ行列はともに正規行列
定理
- 定理1 転置行列について
  
  1) $(A^{T})^{T} = A$
  2) $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
  3) $(\alpha A)^{T} = \alpha A^{T} \quad ( \alpha$ は定数)
  4) $(AB)^{T} = B^{T} A^{T}$
- 定理2 行列の区分け
  
  ${}$
  $$
  A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}
  $$
$$ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} \end{pmatrix}
$$

$\quad \quad$ を区切って、

$$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}
\end{pmatrix}
$$

$$ B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}
$$

$\quad \quad$ とすると、

$$ AB = \begin{pmatrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} \end{pmatrix}
$$

$\quad \quad$ が成り立つ。
$\quad \quad$ ※区切りの位置は統一、区切りは増えても良い。
- 定理3 逆行列について
  
  A,Bを実正則行列とする。
  1) $E_n^{-1} = E_n$
  2) $(A^{-1})^{-1} = A$
  3) ABは正則行列であり、 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
- 定理4
  
  A,Bを正方行列、P,Qをn次正則行列とし、B = PAQ
  この時、Aが正則であることと、Bが正則であることは同値
- 定理5
  
  $$ A = \begin{pmatrix} a_1 & \\ & a_2& \\ & & \ddots &\\ & & & a_n \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} b_1 & \\ & b_2& \\ & & \ddots &\\ & & & b_n \end{pmatrix} $$
  とすると、
  $$ AB= \begin{pmatrix} a_1 b_1& \\ & a_2 b_2& \\ & & \ddots &\\ & & & a_n b_n \end{pmatrix} $$
  $$ A^{-1}= \begin{pmatrix} a_1^{-1}& \\ & a_2^{-1}& \\ & & \ddots &\\ & & & a_n^{-1} \end{pmatrix} $$
- 定理6 逆行列の存在の必要十分条件
  
  n次正方行列Aに逆行列が存在する　 $\Longleftrightarrow$ Aの階数がn
- 定理7 ユニタリ変換の内積不変
  
  Uをユニタリ行列とし、 $x' = Ux \quad y' = Uy$ とすると、
  
  $( x' , y' ) = (x ,y )$
- 定理8 ユニタリ行列の性質
  
  1) A,Bをn次ユニタリ行列とすると、AB,BAはn次ユニタリ行列
  2)n次単位行列は、n次ユニタリ行列
  3) Aがユニタリ行列なら、逆行列が存在し、逆行列もユニタリ行列