Beconの備忘録

院試対策公式まとめ(微分積分-関数編）

用語
- 逆正弦
  
  $x = siny$ を $y$ について解いたものを $y=arcsinx$ と表す。
- 逆余弦
  
  $x = cosy$ を $y$ について解いたものを $y=arccosx$ と表す。
- 主値
  
  逆正弦、逆余弦は $y$ について解くと答えが一つに定まらない。
  そのうち $-1 \leq x \leq 1$ に対し、逆正弦では $- \frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ 、逆余弦では、 $０ \leq y \leq \pi$
- 双曲線関数
  
  $sinhx = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \quad$ $coshx = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \quad$ $tanhx = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$
  
  $cosh^{2} x - sinh^{2}x = 1 \quad$ $1 - tanh^{2} x = \frac{1}{cosh^{2}x}$ が成り立つ。
- 符号関数
  
  ${}$ $$ sgn(x) = \left\{ \begin{array}{} -1 & ( x < 0) \\ 1 & ( x > 0) \end{array} \right. $$
- 陰関数
  
  F(x,y) = 0 のような形で表される関数
  一方、y = F(x)のような形の関数を陽関数という。
- 代数関数
  
  $R_0(x),R_1(x) \dots R_n(x)$ をxの多項式とした時の陰関数
  $F(x,y) = R_n(x) y^{n} + \cdots + R_0(x) = 0$
  で定まる関数のこと。
- 左極限
  
  $\lim_{x \to {a - 0}}f(x) = b$ $\Longleftrightarrow$
  
  $\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $\delta > 0 \quad$ $s.t. \quad a - \delta \lt x \lt a \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |f(x) - b| \lt \varepsilon$
- 右極限
  
  $\lim_{x \to {a + 0}}f(x) = b$ $\Longleftrightarrow$
  
  $\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $\delta > 0 \quad$ $s.t. \quad a \lt x \lt a + \delta \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |f(x) - b| \lt \varepsilon$
  
  左極限と右極限が一致すると $\lim_{x \to {a}}f(x) = b$
- 関数の連続性
  
  $f(x)$ が点 $x = a$ で連続　 $\Longleftrightarrow$
  
  $\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $\delta > 0 \quad$ $s.t. \quad |x-a| \lt \delta \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |f(x) - b| \lt \varepsilon$
- 偶関数
  
  $f(-x) = f(x)$ を満たす関数
- 奇関数
  
  $f(-x) = -f(x)$ を満たす関数
  
  $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ と分解すると、第１項が偶関数、第２項が奇関数と分解ができ、これは一意である。
- 凸関数
  
  定義域内の任意の２点x,yと0 < λ < 1 を満たす任意の実数λに対し、
  $f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1 - \lambda)f(x) + \lambda f(y)$
  
  が常に成り立つ関数

　

定理
- 定理2.1
  
  1) $\lim_{x \to {a + 0}}$ { $f(x) + g(x)$ } = $\lim_{x \to {a + 0}}f(x)$ + $\lim_{x \to {a + 0}}g(x)$
  
  2) $\lim_{x \to {a + 0}}f(x)g(x)$ = $\lim_{x \to {a + 0}}f(x)$ ・ $\lim_{x \to {a + 0}}g(x)$
  
  3) $\lim_{x \to {a + 0}} \frac{f(x)}{g(x)}$ = $\frac{\lim_{x \to {a + 0}}f(x)}{\lim_{x \to {a + 0}}g(x)}$
  
  なお、左極限、両方からの極限でも成り立つ。
- 定理2.2
  
  $f(x),g(x)$ が点 $x = a$ で連続だとすると、
  $f(x) + g(x), f(x)g(x)$ も $x = a$ で連続、 $g(a) \neq 0$ なら、
  $\frac{f(x)}{g(x)}$ も $x= a$ で連続。
  また、 $h(x) = g( f(x) )$ という合成関数があるとき、
  $f(x)$ が $x = a$ で、 $g(x)$ が $x = f(a)$ で連続ならば、
  $h(x)$ は $x = a$ で連続である。
- 定理2.3
  
  $f(x)$ が点 $a$ で連続になるためには、 $a$ に近づくどんな数列 $a_n$ に対しても、 $n \rightarrow$ ∞ の時、 $f(a_n) \rightarrow a$ となっていることが必要十分条件
- 定理2.4 中間値の定理
  
  閉区間[ $a,b$ ]で連続な関数 $f(x)$ は、この区間で $f(a)$ と $f(b)$ の中間の任意の値Cをとる。　　
- 定理2.5 最大値の定理
  
  閉区間[ $a,b$ ]で連続な関数 $f(x)$ は、この区間で最大値をとる。
  以下の1),2)を用いて証明される。
  
  1) ある定数Mが存在して、閉区間[ $a,b$ ]で連続な関数 $f(x)$ は、
  
  $\quad a \leq x \leq b$ において $\quad f(x) \leq M$
  
  上式が成り立つ最小のMを区間[ $a,b$ ]上でのfの値の上限といい、
  
  $sup_{a \leq x \leq b} f(x)$
  
  と表す。 2) 連続関数が閉区間[ $a,b$ ]で取る値には上限が含まれる。

　　

　