院試対策〜微分積分:多変数関数編

用語
- 偏微分
  
  関数f(x,y)のyを固定し、xについて微分したものをxについての偏微分といい、
  $\frac{\partial f(a,b)}{\partial x} = f_x (a,b) = \lim_{\Delta x → 0} \frac{f(a+\Delta x ,b) - f(a ,b)}{\Delta x}$ と表す。
  偏微分が両変数で存在するとき、偏微分可能という。
- 全微分
  
  $dz = \frac{\partial f(a,b)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(a,b)}{\partial x} dy \equiv df(x,y)$ を点(x,y)におけるf(x,y)の全微分という。関数の偏微分が存在して連続であれば、全微分可能である。
- ２次の偏導関数
  
  関数f(x,y)に対して $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ , $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ がさらに偏微分可能なとき、
  
  $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial }{\partial x} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} )$ $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial y^{2}} = \frac{\partial }{\partial y} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} )$
  $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial }{\partial x} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} )$ $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial }{\partial y} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} )$
  
  を2次の偏導関数という。それぞれ[tex: f{xx}, f{yy}, f{xy}, f{yx}]と表すことができる。
- 鞍点
  
  １方向で極大点、１方向で極小点となるような点
- スカラー場、ベクトル場
  
  $\boldsymbol{r},t$ で決まるスカラー量をスカラー場,ベクトル量をベクトル場という。
- 勾配
  
  関数fのX,Y,Z方向の傾きを成分するベクトルを勾配(勾配ベクトル)といい、 $grad f$ と表す。
  
  $grad f = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \boldsymbol{k} = ( \frac{\partial }{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial }{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{k} )f \equiv \nabla f$
  微分作用素 $\nabla$ をナブラベクトルという。
  また、 $d \boldsymbol{r} = dx \boldsymbol{i} + dy \boldsymbol{j} + dz \boldsymbol{k}$ とすると、 $df(x,y,z) = d\boldsymbol{r} \cdot grad f$ となる。これは、関数の差が勾配と距離の積で得られることを示している。
- 発散
  
  $div \boldsymbol{v} = \nabla \cdot \boldsymbol{v} =$ $( \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i}$ $+ \frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k} )$ $\cdot (u \boldsymbol{i} + v \boldsymbol{j} + w \boldsymbol{k} )$ = $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$
  をベクトル $\boldsymbol{v}$ の発散といい、 $\boldsymbol{v}$ を速度ベクトルであると考えると、 $div \boldsymbol{v}$ はナブラベクトルと速度ベクトルのスカラー積であり、矩形領域から発散する量であると考えられる。
- 回転
  
  $rot \boldsymbol{v} = \nabla \times \boldsymbol{v} =$ $( \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i}$ $+ \frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k} )$ $\times (u \boldsymbol{i} + v \boldsymbol{j} + w \boldsymbol{k} )$
  = $(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} ) \boldsymbol{i} + ( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} ) \boldsymbol{j}+ ( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} ) \boldsymbol{k}$ $div \boldsymbol{v}$ はナブラベクトルと速度ベクトルのベクトル積であり、X,Y,Z軸周りの回転を表すベクトルであると考えられる。
2変数関数における極限と連続

点(x,y)をP,点(a,b)をA,２点間の距離を $\bar{PA}$ として、
$\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $\delta \quad$ $s.t. \quad 0 \leq |\bar{PA}| \leq \delta \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |f(P) - c| \lt \varepsilon$ これを満たす時、極限が存在する。
関数f(x,y)が点(a,b)で連続であるとは、cの値がf(a,b)に一致すること。ある領域Dの全ての点でf(x,y)が連続であるとき、fはDで連続であるという。
１関数の場合は左右の極限値を考えれば良いが、2関数の場合は平面上の全ての方向からの極限値を考える必要がある。
合成関数の微分

z=f(x,y)が全微分可能で、 $x= \xi (t), y = \eta (t)$ がtについて微分可能なら、

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{d \xi}{dt}+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{d \eta}{dt}$
またz=f(x,y)が全微分可能で、 $x= \xi (u,v), y = \eta (u,v)$ がu,vについて偏微分可能なら、

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial u}+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial v}+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial v}$
極座標変換

$F=f(x,y)=g(r,\theta )$ とすると、

$\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} sin \theta$

$\frac{\partial F}{\partial \theta} = - \frac{\partial f}{\partial x} r sin \theta + \frac{\partial f}{\partial y} r cos \theta$

また球座標だと、 $x = r sin \theta cos \varphi , y = r sin \theta sin \varphi, z = r cos \theta$ と定義し、

$\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} sin \theta cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} sin \theta sin \varphi + \frac{\partial f}{\partial z } cos \theta$ $\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} r cos \theta cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} rcos \theta sin \varphi - \frac{\partial f}{\partial z }r sin \theta$ $\frac{\partial F}{\partial \varphi} = - \frac{\partial f}{\partial x}r sin \theta sin \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} r sin \theta cos \varphi$
２変数関数のマクローリン展開、テイラー展開

マクローリン展開

$f(h,k) = f(0,0) + (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) f(0,0) + \frac{1}{2!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{2} f(0,0) + \cdots + \frac{1}{n!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n} f(0,0) + R_{n+1}$
$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n+1} f(h \theta , k \theta) (0 \lt \theta \lt 1)$
テイラー展開

$f(a+h,b+k) = f(a,b),+ (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) f(a,b) + \frac{1}{2!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{2} f(a,b) + \cdots + \frac{1}{n!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n} f(a,b) + R_{n+1}$
$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n+1} f(a + h \theta , b + k \theta) (0 \lt \theta \lt 1)$
２変数関数の極値

z=f(x,y)が点(a,b)と十分近くの点(a+h,b+k) (h,kは任意)について,
f(a,b) > f(a+h,b+k)なら、fは点(a,b)で極大
f(a,b) < f(a+h,b+k)なら、fは点(a,b)で極小
陰関数の微分

陰関数F(x,y) = 0の全微分を考えると、
$dF(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = 0$ より、
$\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y} ( F_y ≠ 0 )$ $\frac{dx}{dy} = - \frac{F_y}{F_x} ( F_x ≠ 0 )$
ベクトルの微分

${}$ $$ \boldsymbol{r}(t)= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} = x(t) \boldsymbol{i} + y(t) \boldsymbol{j} + z(t) \boldsymbol{k} $$ と書く時、

$\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dx(t)}{dt} \boldsymbol{r} + \frac{dy(t)}{dt} \boldsymbol{j} + \frac{dz(t)}{dt} \boldsymbol{k}$
またスカラー積、ベクトル積を微分すると、

$\frac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})= \frac{d \boldsymbol{a}(t)}{dt} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \frac{d \boldsymbol{b} (t)}{dt}$
$\frac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})= \frac{d \boldsymbol{a}(t)}{dt} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \frac{d \boldsymbol{b} (t)}{dt}$
定理
- 定理1
  
  ある領域で関数f(x,y)の偏導関数 $f_x,f_y,f_{xy}$ が存在し $f_{xy}$ が連続ならば、 $f_{yx}$ も存在し $f_{xy} = f_{yx}$ となる。
- 定理2 ２変数関数の極値
  
  関数f(x,y)において $f_x (a,b) = f_y (a,b) = 0$ が成り立っていると木、点(a,b)において
  1) $f_{xy}^{2} - f_{xx} f_{yy} \lt 0$ で、
  (i) $\quad f_{xx} \lt 0$ または $f_{yy} \lt 0$ のとき、f(x,y)は極大
  (ii) $\quad f_{xx} \gt 0$ または $f_{yy} \gt 0$ のとき、f(x,y)は極小
  2) $f_{xy}^{2} - f_{xx} f_{yy} \gt 0$ のときは極値を取らない。
- 定理3 ラグランジュの未定乗数法
  
  条件f(x,y)=0の下で、g(x,y)が点(a,b)で弱い意味の極値をとるとき、(条件付き極値問題) $f_x (a,b) ≠ 0$ または $f_y (a,b) ≠ 0$ ならば
  $g_x - \lambda f_x = 0 , g_y - \lambda f_y = 0$ を満たす定数 $\lambda$ が存在する。
  ただし、あくまで必要条件であり極値かどうかは別のやり方で判定する必要がある。
- 定理4 勾配、発散、回転に関する公式
  
  $\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}$
  $\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{a}) = 0$
  $\nabla \cdot (\nabla f) = \Delta f$
  ただし、 $\Delta \equiv \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ であり、ラプラス作用素またはラプラシアンという。他にも、

$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{a} ) = \nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol{a}) - \Delta \boldsymbol{a}$
$\nabla \cdot ( f \boldsymbol{a} ) = f \nabla \cdot \boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \cdot \nabla f$
$\nabla \times ( f \boldsymbol{a} ) = f( \nabla \times \boldsymbol{a} ) - \boldsymbol{a} \times (\nabla f)$
$\nabla \cdot ( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) = \boldsymbol{b} \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{a} ) - \boldsymbol{a} \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{b} )$
$\nabla ( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ) = (\boldsymbol{a} \cdot \nabla ) \boldsymbol{b} + (\boldsymbol{b} \cdot \nabla ) \boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \times ( \nabla \times \boldsymbol{b} ) + \boldsymbol{b} \times (\nabla \times \boldsymbol{a} )$
$\nabla \times ( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) = (\boldsymbol{b} \cdot \nabla ) \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla ) \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} ( \nabla \cdot \boldsymbol{b} ) - \boldsymbol{b} (\nabla \cdot \boldsymbol{a} )$