2020-02-08

院試対策〜線形代数:固有値・固有ベクトル編

用語
- 固有値問題
  
  $A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$ から、 $\lambda , \boldsymbol{x}$ を求める問題。 $\lambda$ を固有値、それに対応する $\boldsymbol{x}$ を固有ベクトルという。
- 不変部分空間
  
  線型独立なm個のベクトル $\boldsymbol{x_1}^{0},\boldsymbol{x_2}^{0}, \cdots \boldsymbol{x_m}^{0}$ で張られる空間をWとしたとき、 $\boldsymbol{x} \in$ Wの任意のベクトルに対して、 $A \boldsymbol{x} \in$ W であるとき、WをAによる不変部分空間という。
- 特性多項式
  
  $\Phi_A (\lambda) = det(\lambda E - A )$
  としたとき、 $\Phi_A (\lambda)$ を特性多項式(固有多項式)といい、 $\lambda$ を特性根という。
  適当な正則行列Pを用いて $B = P^{-1} A P$ としたとき、 $\Phi_B (\lambda) =$ $\Phi_A (\lambda)$
- 規格化
  
  ベクトルのノルムが１になるようにベクトルを定数倍すること。
- 直交補空間
  
  W( $a$ )に属する任意のベクトルを $\boldsymbol{x}$ 、V( $a$ )に属する任意のベクトルを $\boldsymbol{y}$ としたとき、 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ には共通する元はなく、内積もゼロであるとき、V( $a$ )をW( $a$ )の直交補空間であるといい、 $W^{ \perp }$ ( $a$ )と書く。
- ユニタリ変換
  
  ユニタリ行列で表される変換。ユニタリ行列は基底ベクトルのノルムを変化させないベクトルの変換である。
- 射影演算子
  
  任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ から、あるベクトル $\boldsymbol{u}$ 方向の成分を抜き出す線形写像のこと。 $P_{\boldsymbol{U}}$ の正規直交基底を $\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}, \cdots \boldsymbol{e_n}$ とすると、
  $P_{\boldsymbol{U}} \boldsymbol{x}$ = $\sum_{j = 1}^{r}$ $\boldsymbol{e_j}$ ( $\boldsymbol{e}_j, \boldsymbol{x} )$
  と定義される。
  ベクトル空間 $\boldsymbol{V}$ が固有空間に直和分解され、
  $\boldsymbol{V}$ = $\boldsymbol{W_1} \dot{+} \boldsymbol{W_2} \dot{+} \cdots \dot{+} \boldsymbol{W_m}$
  となり、また固有空間 $W_i$ の正規直交基底が $\boldsymbol{e_1}^{ (i) },\boldsymbol{e_2}^{ (i) } \cdots ,\boldsymbol{e_r}^{ (i) }$ であるとする。このとき各 $W_i$ への射影演算子は、
  
  $P_i$ = $\sum_{j = 1}^{r}$ $\boldsymbol{e_j}^{(i)}$ $\otimes\ \bar{ \boldsymbol{e_j}^{(i)}}^{T}$
- テンソル積（クロネッカー積)
  
  $( n_1 , n_2 )$ 行列A、 $( m_1 , m_2 )$ 行列Bとすると、
  ${}$
  $$ A \otimes\ B= \begin{pmatrix} a_{11} B & a_{12} B & \cdots & a_{1n} B \\ a_{21} B & a_{22} B & \cdots & a_{2n} B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} B & a_{n2} B & \cdots & a_{nn} B \end{pmatrix}
  $$
  と定義される $(m_1 n_1 , m_2 n_2 )$ 型行列である。
  $$ \boldsymbol{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
  $$
  への射影演算子は $P_1 = \boldsymbol{e_1} \otimes\$ $\bar{ \boldsymbol{e}_1 }^{T}$ と表せる。
- スペクトル分解
  
  ベクトル空間 $\boldsymbol{V}$ における正規変換Aの固有値を $a_1,a_2, \cdots ,a_m$ 、対応する部分空間 $\boldsymbol{W_1},\boldsymbol{W_2}, \cdots \boldsymbol{W_m}$ への射影演算子を $P_1,P_2, \cdots ,P_m$ とするとき、
  $A = a_1 P_1 + a_2 P_2 + \cdots a_m P_m$
  と一意に分解できること。
- 2次形式、エルミート形式
  
  実変数 $x_1, x_2, \cdots , x_n$ の2次多項式
  $\sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j \quad$ $( a_{ij} = a_{ji} =$ 実数 )
  を2次形式という。２次形式は内積を用いて $( \boldsymbol{x}, A \boldsymbol{x} )$ と表せる。また、複素変数 $z_1, z_2, \cdots , z_n$ の2次多項式
  $\sum_{i,j} a_{ij} \bar{z_i} z_j \quad$ $( a_{ij} = \bar {a_{ji}}$ )
  をエルミート形式という。エルミート形式は内積を用いて $( \boldsymbol{z}, A \boldsymbol{z} )$ と表せる。
- 正定値、半正定値
  
  $\boldsymbol{z} ≠ \boldsymbol{0}$ である任意のベクトル $\boldsymbol{z}$ について $( \boldsymbol{z}, A \boldsymbol{z} )$ > 0であるものを正定値といい、 $( \boldsymbol{z}, A \boldsymbol{z} )$ ≥ 0であるものを半正定値という。
- 標準形
  
  $( \boldsymbol{x}, A \boldsymbol{x} )$ = $a_1 y_1^{2} + a_2 y_2^{2} + \cdots a_n y_n^{2}$ の形で表されること。
  ２次形式を標準形に変換することは、主軸の方向を座標軸に変える座標変換と等価である。
定理
- 定理1 固有値問題における対角化
  
  $A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$ を解くとき、固有ベクトルを並べた行列Pを用いると、 $P^{-1} A P$ は、対角成分に固有値が並んだ対角行列になる。( 定理2を満たす場合のみ)
- 定理2
  
  n次正方行列Aについて、適当な正則行列Pを用いて $P^{-1} A P$ が対角形に変換できるための必要十分条件は、Aがn個の線形独立な固有ベクトルをもつこと。
  これらは、
  1) Aがn個の独立な固有ベクトルを持つなら、それはVの基底の１つ。
  2) Vにおける線形変換Aが適当な基底に対して対角形であること(A $\boldsymbol{x_i} = a_i \boldsymbol{x_i}$ ) と、Vが固有空間の直和である(Vが各固有値 $a_i$ に対応する固有空間のベクトルの作る空間の和であり、かつ異なる固有値に対応する固有空間に同時に属するベクトルの元は存在しない = Vの任意のベクトルを固有ベクトルの和で表す方法は一意)ことは同値である。
  3) 特性多項式は $\Phi_A (\lambda) = \prod_{i =1}^{r} (\lambda - a_i )^{m_i}$ と因数分解できる。
  このとき、固有値 $a_i$ に対する固有空間をV( $a_i$ )とすると、 $m_i$ = dim V ( $a_i$ )
  直和であることは、V = V( $a_1$ ) $\dot{+}$ V( $a_2$ ) $\dot{+}$ $\cdots$ $\dot{+}$ V( $a_r$ )
  4) $rank(a_i E - A) = n - m_i$ が成り立つ。
- 定理3
  
  線形変換Aの相異なる固有値 $a_i$ に対する固有ベクトルは $x_j$ は線型独立である。
  (線型独立であるが、互いに直交しているわけではない)
- 定理4
  
  適当なユニタリ行列PによりAが対角形に変換できるための必要十分条件は、Aが正規行列であることである。
- 定理5
  
  W( $a$ )がAの不変部分空間であるとき、 $W^{ \perp }$ ( $a$ )は $A^{\dagger}$ の不変部分空間である。
  またAが正規行列であるとき、W( $a$ ), $W^{ \perp }$ ( $a$ )はともにAの不変部分空間である。
- 定理6
  
  正規行列Aの異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交する。
- 定理7
  
  エルミート行列の固有値は全て実数である。またユニタリ行列の固有値は全て絶対値１の複素数である。
- 定理8
  
  ベクトル空間 $\boldsymbol{V}$ の線形演算子 $P_{\boldsymbol{U}}$ が射影演算子であるための必要十分条件は、
  $P_{\boldsymbol{U}}^{2}$ = $P_{\boldsymbol{U}} \quad$ $P_{\boldsymbol{U}}^{\dagger}$ = $P_{\boldsymbol{U}}$
  である。
- 定理9
  
  ２次形式(エルミート形式)が任意の $\boldsymbol{x}$ について0にならないための必要十分条件は、実対称行列(エルミート行列)の固有値がすべて正または負であること。

2020-02-06

院試対策〜微分積分:積分応用編

2重積分

XY平面上の有界な領域Dで定義されている２変数関数z=f(x,y)について、 Dをおおう格子の矩形小領域 $\Delta D_{ij}$ の面積 $\Delta x_i \Delta y_j = (x_i - x_{i -1} )( y_i - y_{ij} )$ を $\Delta S_{ij}$ とした時、

$V = \sum_{1} M_{ij} \Delta S_{ij}$ $v = \sum_{2} m_{ij} \Delta S_{ij}$
とすると $\Delta$ を０に近づけ、Vとvの極限が一致すれば、

$\iint_{D} f(x,y) dS = \lim_{\Delta → 0} V = \lim_{\Delta → 0} v$
を関数f(x,y)の２重積分といい、dS = dxdyを面積要素という。
計算する際は、まず1つの積分変数についての積分を行って、さらにもう1つの積分変数についての積分を行う(累次積分)

$\iint_{D} f(x,y) dxdy = \int_{a}^{b}$ { $\int_{h(x)}^{g(x)} f(x,y) dy$ } $dx$
なお、積分の順序を変更しても結果は変わらない。

$\iiint_{D} f(x,y,z) dV = \iiint_{D} f(x,y,z) dxdydz$
を3重積分といい、dV=dxdydzを体積要素という。
これらの積分をまとめて多重積分という。
積分の変数変換

極座標における２重積分は $\iint_{D} f(r,\theta) dS$ と書けるが、面積要素は $dS=r dr d \theta$ であるから、

$\iint_{D} f(r,\theta) r dr d \theta$

である。
$x = \xi (u,v) , y = \eta (u,v)$ の変数変換を考えると、

$dS = |\frac{\partial \xi}{\partial u} \frac{\partial \eta}{\partial v} - \frac{\partial \eta}{\partial u} \frac{\partial \xi}{\partial v} | du dv = J du dv$
なお、

${}$ $$ J = \frac{\partial (x,y) }{ \partial (u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial u} & \frac{\partial η }{\partial u} \\ \frac{\partial \xi}{\partial v} & \frac{\partial η }{\partial v} \\ \end{vmatrix} $$

をヤコビ行列式(ヤコビアン)という。よって

$\iint_{D} f(x,y) dx dy = \iint_{D'} f(\xi(u,v),\eta(u,v) )|J| dudv$

が成り立つ。

曲線の長さ

XY平面上の関数f(x)で表される曲線について、区間[a,b]の長さsは、

$s = \int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + ( \frac{dy}{dx} )^{2} } dx$
x,yがtの関数として、 $x = \xi (t), y = \eta (t)$ で与えられるときは、 $t = \alpha$ でx = a, $t = \beta$ でx = bとすると、

$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ ( \frac{d \xi}{dt} )^{2} + ( \frac{d \eta}{dt} )^{2} } dt$
線積分

曲線の各点で関数 $F(x,y)=F( \xi (t) , \eta(t) )$ が与えられるとき、

$\int_{c} F(x,y) ds = \lim_{n → ∞} \sum_{k = 1}^{n} F_k \Delta s_k$
を線積分という。また、

$ds = \sqrt{ ( \frac{d \xi}{dt} )^{2} + ( \frac{d \eta}{dt} )^{2} } dt$
を曲線要素という。曲線要素は、線上の２つの点の長さを極限に縮めたものであると考えられる。
面積分

Sがz=f(x,y)で与えられた曲面、DはそれをXY平面に写した領域で、曲面S上の各点で関数F(x,y,z)が与えられているとすると、

$\int_{S} F(x,y,z) ds = \lim_{n → ∞} \sum_{k = 1}^{n} F_k \Delta s_k$
を面積分という。
また、

$dS = |J(u,v) | dudv$
を曲面要素といい、各微小部分に対応する接平面の面積をどんどん小さくしていった極限であると考えられる。
ベクトルの積分

$\boldsymbol{a} (t) = a_1 (t) \boldsymbol{i} + a_2 (t) \boldsymbol{j} + a_3 (t) \boldsymbol{k}$ を積分すると、

$\int \boldsymbol{a} (t) dt = \boldsymbol{i} \int a_1 (t) dt + \boldsymbol{j} \int a_2 (t) dt+ \boldsymbol{k} \int a_3 (t) dt$
と、成分ごとの積分で求まる。
ベクトル場の線積分

$\boldsymbol{r} =x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$ とし、Aを始点、Bを終点とする曲線Cに沿ってベクトル場が与えられている。また、曲線C上のある点における接線ベクトル(向きが接線方向で大きさ1のベクトル)を $\boldsymbol{t}$ ,法線ベクトル(向きが法線方向で大きさ1のベクトル)を $\boldsymbol{n}$ とする。
このとき、 $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{t}$ はベクトル $\boldsymbol{v}$ の接線方向の成分、 $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$ はベクトル $\boldsymbol{v}$ の法線方向の成分を表し、

$\int_{C} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{t} ds = \int_{C} \boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{s}$
を線積分という。また、 $d \boldsymbol{s}$ を線要素ベクトルという。
ベクトル場の面積分

曲面S上のベクトル場が与えられているとし、曲面上のある点でのベクトルを $\boldsymbol{v}$ 、その法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ としたとき、

$\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} dS = \int_{S} \boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{S}$
を面積分という。 $\boldsymbol{v}$ を流れの速度場とすると、面積分は外向きに流れ出る流体の総量を与える。また、 $d \boldsymbol{S}$ を面要素ベクトルという。
定理
- 定理1 ２重積分の性質
  
  1) 線型性
  $\iint_{D} {c_1 f(x,y) + c_2 g(x,y)} dxdy = c_1 \iint_{D} f(x,y) dxdy +c_2 \iint_{D} g(x,y) dxdy$
  2) 領域の分割
  Dが $D_1,D_2$ に分割されている時、
  $\iint_{D} f(x,y) dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) dxdy + \iint_{D_2} f(x,y) dxdy$
- 定理2 ガウスの定理
  
  (平面のガウスの定理)
  
  $\int_{\Gamma} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} ds = \iint\ div \, \boldsymbol{v} dS$
  
  (３次元空間のガウスの定理)
  $\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} dS = \iiint\ div \, \boldsymbol{v} dV$
- 定理3 ストークスの定理
  
  $\int_{\Gamma} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{t} ds = \iint_{S} ( rot \, \boldsymbol{v} ) \cdot \boldsymbol{n}dS$
- 定理4 平面におけるグリーンの定理
  
  ベクトル場を $\boldsymbol{t} = u(x,y) \boldsymbol{i} + v(x,y) \boldsymbol{j}$ ,線要素ベクトルを $d\boldsymbol{s} = \boldsymbol{t} \cdot ds = dx \boldsymbol{i} +dy \boldsymbol{j}$ ,面要素ベクトルを $d \boldsymbol{S} = \boldsymbol{n} \cdot dS = \boldsymbol{n} dxdy$ とすると、
  
  $\oint_{\Gamma} (udx + vdy )= \iint_{S} ( \frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} )dxdy$
  グリーンの定理を利用すると、A,Bを結ぶ線積分が経路によらないための必要十分条件は、領域D内で常に $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$ が成り立つことである。

2020-02-04

院試対策〜微分積分:多変数関数編

用語
- 偏微分
  
  関数f(x,y)のyを固定し、xについて微分したものをxについての偏微分といい、
  $\frac{\partial f(a,b)}{\partial x} = f_x (a,b) = \lim_{\Delta x → 0} \frac{f(a+\Delta x ,b) - f(a ,b)}{\Delta x}$ と表す。
  偏微分が両変数で存在するとき、偏微分可能という。
- 全微分
  
  $dz = \frac{\partial f(a,b)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(a,b)}{\partial x} dy \equiv df(x,y)$ を点(x,y)におけるf(x,y)の全微分という。関数の偏微分が存在して連続であれば、全微分可能である。
- ２次の偏導関数
  
  関数f(x,y)に対して $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ , $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ がさらに偏微分可能なとき、
  
  $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial }{\partial x} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} )$ $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial y^{2}} = \frac{\partial }{\partial y} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} )$
  $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial }{\partial x} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} )$ $\frac{\partial^{2} f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial }{\partial y} ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} )$
  
  を2次の偏導関数という。それぞれ[tex: f{xx}, f{yy}, f{xy}, f{yx}]と表すことができる。
- 鞍点
  
  １方向で極大点、１方向で極小点となるような点
- スカラー場、ベクトル場
  
  $\boldsymbol{r},t$ で決まるスカラー量をスカラー場,ベクトル量をベクトル場という。
- 勾配
  
  関数fのX,Y,Z方向の傾きを成分するベクトルを勾配(勾配ベクトル)といい、 $grad f$ と表す。
  
  $grad f = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \boldsymbol{k} = ( \frac{\partial }{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial }{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{k} )f \equiv \nabla f$
  微分作用素 $\nabla$ をナブラベクトルという。
  また、 $d \boldsymbol{r} = dx \boldsymbol{i} + dy \boldsymbol{j} + dz \boldsymbol{k}$ とすると、 $df(x,y,z) = d\boldsymbol{r} \cdot grad f$ となる。これは、関数の差が勾配と距離の積で得られることを示している。
- 発散
  
  $div \boldsymbol{v} = \nabla \cdot \boldsymbol{v} =$ $( \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i}$ $+ \frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k} )$ $\cdot (u \boldsymbol{i} + v \boldsymbol{j} + w \boldsymbol{k} )$ = $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$
  をベクトル $\boldsymbol{v}$ の発散といい、 $\boldsymbol{v}$ を速度ベクトルであると考えると、 $div \boldsymbol{v}$ はナブラベクトルと速度ベクトルのスカラー積であり、矩形領域から発散する量であると考えられる。
- 回転
  
  $rot \boldsymbol{v} = \nabla \times \boldsymbol{v} =$ $( \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i}$ $+ \frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k} )$ $\times (u \boldsymbol{i} + v \boldsymbol{j} + w \boldsymbol{k} )$
  = $(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} ) \boldsymbol{i} + ( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} ) \boldsymbol{j}+ ( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} ) \boldsymbol{k}$ $div \boldsymbol{v}$ はナブラベクトルと速度ベクトルのベクトル積であり、X,Y,Z軸周りの回転を表すベクトルであると考えられる。
2変数関数における極限と連続

点(x,y)をP,点(a,b)をA,２点間の距離を $\bar{PA}$ として、
$\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $\delta \quad$ $s.t. \quad 0 \leq |\bar{PA}| \leq \delta \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |f(P) - c| \lt \varepsilon$ これを満たす時、極限が存在する。
関数f(x,y)が点(a,b)で連続であるとは、cの値がf(a,b)に一致すること。ある領域Dの全ての点でf(x,y)が連続であるとき、fはDで連続であるという。
１関数の場合は左右の極限値を考えれば良いが、2関数の場合は平面上の全ての方向からの極限値を考える必要がある。
合成関数の微分

z=f(x,y)が全微分可能で、 $x= \xi (t), y = \eta (t)$ がtについて微分可能なら、

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{d \xi}{dt}+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{d \eta}{dt}$
またz=f(x,y)が全微分可能で、 $x= \xi (u,v), y = \eta (u,v)$ がu,vについて偏微分可能なら、

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial u}+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial v}+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial v}$
極座標変換

$F=f(x,y)=g(r,\theta )$ とすると、

$\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} sin \theta$

$\frac{\partial F}{\partial \theta} = - \frac{\partial f}{\partial x} r sin \theta + \frac{\partial f}{\partial y} r cos \theta$

また球座標だと、 $x = r sin \theta cos \varphi , y = r sin \theta sin \varphi, z = r cos \theta$ と定義し、

$\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} sin \theta cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} sin \theta sin \varphi + \frac{\partial f}{\partial z } cos \theta$ $\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} r cos \theta cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} rcos \theta sin \varphi - \frac{\partial f}{\partial z }r sin \theta$ $\frac{\partial F}{\partial \varphi} = - \frac{\partial f}{\partial x}r sin \theta sin \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} r sin \theta cos \varphi$
２変数関数のマクローリン展開、テイラー展開

マクローリン展開

$f(h,k) = f(0,0) + (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) f(0,0) + \frac{1}{2!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{2} f(0,0) + \cdots + \frac{1}{n!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n} f(0,0) + R_{n+1}$
$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n+1} f(h \theta , k \theta) (0 \lt \theta \lt 1)$
テイラー展開

$f(a+h,b+k) = f(a,b),+ (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) f(a,b) + \frac{1}{2!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{2} f(a,b) + \cdots + \frac{1}{n!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n} f(a,b) + R_{n+1}$
$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})^{n+1} f(a + h \theta , b + k \theta) (0 \lt \theta \lt 1)$
２変数関数の極値

z=f(x,y)が点(a,b)と十分近くの点(a+h,b+k) (h,kは任意)について,
f(a,b) > f(a+h,b+k)なら、fは点(a,b)で極大
f(a,b) < f(a+h,b+k)なら、fは点(a,b)で極小
陰関数の微分

陰関数F(x,y) = 0の全微分を考えると、
$dF(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = 0$ より、
$\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y} ( F_y ≠ 0 )$ $\frac{dx}{dy} = - \frac{F_y}{F_x} ( F_x ≠ 0 )$
ベクトルの微分

${}$ $$ \boldsymbol{r}(t)= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} = x(t) \boldsymbol{i} + y(t) \boldsymbol{j} + z(t) \boldsymbol{k} $$ と書く時、

$\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dx(t)}{dt} \boldsymbol{r} + \frac{dy(t)}{dt} \boldsymbol{j} + \frac{dz(t)}{dt} \boldsymbol{k}$
またスカラー積、ベクトル積を微分すると、

$\frac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})= \frac{d \boldsymbol{a}(t)}{dt} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \frac{d \boldsymbol{b} (t)}{dt}$
$\frac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})= \frac{d \boldsymbol{a}(t)}{dt} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \frac{d \boldsymbol{b} (t)}{dt}$
定理
- 定理1
  
  ある領域で関数f(x,y)の偏導関数 $f_x,f_y,f_{xy}$ が存在し $f_{xy}$ が連続ならば、 $f_{yx}$ も存在し $f_{xy} = f_{yx}$ となる。
- 定理2 ２変数関数の極値
  
  関数f(x,y)において $f_x (a,b) = f_y (a,b) = 0$ が成り立っていると木、点(a,b)において
  1) $f_{xy}^{2} - f_{xx} f_{yy} \lt 0$ で、
  (i) $\quad f_{xx} \lt 0$ または $f_{yy} \lt 0$ のとき、f(x,y)は極大
  (ii) $\quad f_{xx} \gt 0$ または $f_{yy} \gt 0$ のとき、f(x,y)は極小
  2) $f_{xy}^{2} - f_{xx} f_{yy} \gt 0$ のときは極値を取らない。
- 定理3 ラグランジュの未定乗数法
  
  条件f(x,y)=0の下で、g(x,y)が点(a,b)で弱い意味の極値をとるとき、(条件付き極値問題) $f_x (a,b) ≠ 0$ または $f_y (a,b) ≠ 0$ ならば
  $g_x - \lambda f_x = 0 , g_y - \lambda f_y = 0$ を満たす定数 $\lambda$ が存在する。
  ただし、あくまで必要条件であり極値かどうかは別のやり方で判定する必要がある。
- 定理4 勾配、発散、回転に関する公式
  
  $\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}$
  $\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{a}) = 0$
  $\nabla \cdot (\nabla f) = \Delta f$
  ただし、 $\Delta \equiv \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ であり、ラプラス作用素またはラプラシアンという。他にも、

$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{a} ) = \nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol{a}) - \Delta \boldsymbol{a}$
$\nabla \cdot ( f \boldsymbol{a} ) = f \nabla \cdot \boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \cdot \nabla f$
$\nabla \times ( f \boldsymbol{a} ) = f( \nabla \times \boldsymbol{a} ) - \boldsymbol{a} \times (\nabla f)$
$\nabla \cdot ( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) = \boldsymbol{b} \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{a} ) - \boldsymbol{a} \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{b} )$
$\nabla ( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ) = (\boldsymbol{a} \cdot \nabla ) \boldsymbol{b} + (\boldsymbol{b} \cdot \nabla ) \boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \times ( \nabla \times \boldsymbol{b} ) + \boldsymbol{b} \times (\nabla \times \boldsymbol{a} )$
$\nabla \times ( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) = (\boldsymbol{b} \cdot \nabla ) \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla ) \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} ( \nabla \cdot \boldsymbol{b} ) - \boldsymbol{b} (\nabla \cdot \boldsymbol{a} )$

2020-02-03

院試対策〜微分積分:積分編

用語
- リーマン積分可能
  
  関数f(x)が閉区間[a,b]で連続であり、f(x)≥0とする。区間[a,b]を $a= x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_{n-1} \lt x_n = b$ とn個の小さな区間[ $x_{k -1} , x_k$ ]に分割する。
  そして[ $x_{k -1} , x_k$ ]から１点 $\xi_k$ をとる。また、[ $x_{k -1} , x_k$ ]における最大値を $M_k$ ,最小値を $m_k$ とする。ここで、
  
  $R_n = \sum_{k=1}^{n} m_k \Delta x_k$
  $S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k$
  $T_n = \sum_{k=1}^{n} M_k \Delta x_k$
  
  とおく。この $S_n$ をリーマン和という。このとき、 $R_n ≤ S_n ≤ T_n$ が成り立ち、はさみうちの原理により, $\lim_{n→∞} R_n = \lim_{n→∞} S_n = \lim_{n→∞} T_n = S$ が成り立つ。この極限値Sをaからbまでの定積分といい、 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ と表す。 (aを下限,bを上限という)
  このような極限が存在するとき、f(x)は[a,b]でリーマン積分可能という。
- 区分的に連続
  
  [a,b]上で有限個の点 $c_1,c_2 ,\cdots,c_n$ を除いて連続で、各点 $c_k$ で左右の極限値 $\lim_{x → c_k \pm 0} f(x)$ ,aで右極限値 $\lim_{x → a + 0} f(x)$ ,bで左極限値 $\lim_{x → b - 0} f(x)$ が存在すること。
- ディレクレ関数
  
  有理数の点で1,無理数の点で0をとる関数
  この関数はリーマン積分できない。
- 広義積分
  
  (a,b]で連続であり、x=aで連続でない関数f(x)に対して極限 $\lim_{\epsilon → 0} \int_{a+ \epsilon}^{b}f(x)dx$ が存在するとき、それを $\int_{a}^{b}f(x)dx$ と定義し、広義積分という。
  $\lim_{R → ∞} \int_{a}^{R}f(x)dx$ が存在するときも広義積分といい、 $\int_{a}^{∞}f(x)dx$ と定義する。
定理
- 定理1
  
  関数f(x)は[a,b]で区分的に連続ならばリーマン積分可能で、 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ が存在する。
- 定理2 定積分の性質
  
  1)
  
  $\int_{a}^{b}$ { $c_ 1 f(x) + c_2 g(x)$ } $dx = c_1 \int_{a}^{b} f(x) dx + c_2 \int_{a}^{b} g(x)dx$
  
  2) a<c<bのとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$
  
  3) [a,b]でf(x)≥g(x）のとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx ≥ \int_{a}^{b}g(x)dx$
  
  特にf(x)≥0のとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0$
  
  4)
  | $\int_{a}^{b}f(x)dx$ | $≤ \int_{a}^{b} |f(x)| dx$
  5) 関数f(x)が[a,b]で連続なとき、
  
  $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c) (b -a) \quad (a \lt c \lt b)$
  となるcが存在する。 (平均値の定理)
  6) シュワルツの不等式
  
  $( \int_{a}^{b}f(x)g(x) dx )^{2} ≤ \int_{a}^{b}f(x)^{2}dx \int_{a}^{b}g(x)^{2}dx$
- 定理3 微積分学の基本定理
  
  F(x)をf(x)の原始関数とすると、
  
  $\frac{dF(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(x)dx = f(x)$
  $F(\beta) - F(\alpha) = \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$
- 定理4 広義積分の存在判定
  
  1) 関数f(x)が(a,b]で連続なとき、ある数 $\lambda \lt 1$ , a < x ≤ bに対して、
  
  $| f(x) | ≤ \frac{M}{(x-a)^{\lambda} }$
  となる定数Mがとれる時、 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ が存在。 2) 関数f(x)が[a,∞)で連続なとき、ある数 $\lambda \gt 1$ , a ≤ x に対して、
  
  $| f(x) | ≤ \frac{M}{|x|^{\lambda} }$
  となる定数Mがとれる時、 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ が存在。

2020-02-02

院試対策〜線形代数:計量線型空間編

用語
- 固有関数
  
  $\frac{d}{dt} x(t) = \lambda x(t)$ を満たすような $x(t)$ を微分演算子 $\frac{d}{dt}$ の固有関数という。
- 正規直交関係
  
  $\int_{a}^{b} dx \rho (x) \bar{ \phi }_n (x) \phi_m(x) = \delta_{nm}$ を満たす関係
  ここで関数系{ $\phi_n(x)$ }に対して定められた $\rho (x)$ (>0) を重み関数といい、このような展開をフーリエ式展開という。
- ２乗可積分
  
  $\int_{a}^{b} dx \rho (x) | u(x)|^{2} dx$ が有限な確定値を持つとき、u(x)を２乗可積分という。
- 軽量線型空間
  
  関数系{ $\phi_n (x)$ }により、2乗可積分関数 $u(x),v(x)$ が、 $u(x) = \sum_{n} u_n \phi_n (x)$ , $v(x) = \sum_{n} v_n \phi_n (x)$ と一意に展開できるとする。
  線型独立な正規直交基底(または正規直交関数系)に、
  内積: $(u, v) \equiv \int_{a}^{b} \rho (x) \bar{u}(x) v(x)dx$
  ノルム: $||u|| = \sqrt{ (u,u) }$
  が定義され、以下の1)~4)を満足するような基底(または関数系)の集合
  1) $( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y_1} + \boldsymbol{y_2} ) = ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y_1} ) + ( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y_2} )$
  $\quad ( \boldsymbol{x_1} + \boldsymbol{x_2} , \boldsymbol{y} ) = ( \boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{y} ) + ( \boldsymbol{x_2} , \boldsymbol{y} )$
  2) $(c \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \bar{c} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ , $\quad ( \boldsymbol{x}, c \boldsymbol{y}) = c (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$
  3) $( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} ) = \bar{ (\boldsymbol{y} ,\boldsymbol{x} ) }$
  4) $( \boldsymbol{x} ,\boldsymbol{x} ) \geq 0$ であり、 $( \boldsymbol{x} ,\boldsymbol{x} )$ = 0 $\Longleftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$
- ルジャンドル多項式
  
  多項式 $g_n (x) = x^{n} \quad (n=0,1,2 \cdots )$ をグラム-シュミットの直交化法によって直交関数系にしたものを $f_n (x)$ とする。このとき、 $f_n (x) = \sqrt{\frac{2n+1}{2}} P_n (x)$ としたときの $P_n(x)$
- ２乗平均誤差
  
  正規直交関数系{ $\phi_n (x)$ }によって、適当な係数 $\alpha_n$ をもつ有限級数 $S_N (x) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n \phi_n (x)$ でu(x)に近似させるときの、近似の精度としての目安
  
  $\Delta_N^{2} = \int_{a}^{b} dx \rho (x) | u(x) - S_N (x)|^{2}$
  
  $\Delta_N^{2}$ は、 $\alpha_n = u_n$ の時、最も小さくなる。
- ベッセルの不等式、パーセバルの等式
  
  関数系{ $\phi_n (x)$ }により、2乗可積分関数 $u(x)$ が、 $u(x) = \sum_{n} u_n \phi_n (x)$ と一意に展開できるとき、
  
  $||u||^{2} ≥ \sum_{n=1}^{∞} |u_n |^{2}$
  
  が成り立ち、ベッセルの不等式という。
  等号が成り立つときはパーセバルの等式という。
- 完全(完備)
  
  任意の関数についてパーセバルの等式が成立するとき、正規直交関数系{ $\phi_n (x)$ }は完全または完備という。
  つまり、２乗平均誤差をゼロにすることができる。また関数系{ $\phi_n (x)$ }の展開により、ノルムが変わらないとも言える。
- フーリエ級数展開
  
  区間[-π,π]において関数f(x)を三角関数で展開する。
  $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{∞} (a_n cos nx + b_n sin nx)$
  $a_0 = \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π}dx f(x)$
  $a_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π}dx f(x) cos nx$
  $b_0 = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π}dx f(x) sin nx$
- 複素フーリエ級数展開
  
  　 $u(x) = \sum_{-∞}^{∞}c_n e^{inx} \quad (-π ≤ x ≤ π)$
  $c_n = \frac{1}{2π} \int_{-π}^{π}dx u(x) e^{-inx}$
  
  u(x)と $c_n$ には、
  
  $\frac{1}{2π} \int_{-π}^{π} | u(x)|^{2} dx = \sum_{-∞}^{∞} | c_n |^{2}$
  が成り立つ。
定理
- 定理1 内積、ノルムの性質
  
  1) ||u|| ≥ 0, 特に||u||=0 $\Longleftrightarrow$ u(x) = 0
  2) ||u+v||≤||u|| + ||v||
  3) | (u,v) | ≤ ||u||・||v||
- 定理2 グラム-シュミットの直交化法
  
  内積に関して直交していない関数系から、内積に関して正規化された直交関数系を作る方法。
  直交していない関数系を{ $\boldsymbol{a}_m$ },正規化された直交関数系を{ $\boldsymbol{e}_m$ }とすると、
  { $\boldsymbol{a}_m$ } $\Longrightarrow \boldsymbol{e}_0 = \frac{ \boldsymbol{a}_0}{|| \boldsymbol{a}_0 || }$
  $\cdots$
  $\boldsymbol{a'}_m = \boldsymbol{a}_m$ $- \sum_{k=0}^{m-1} \boldsymbol{e}_k ( \boldsymbol{e}_k , \boldsymbol{a}_m )$
  $\boldsymbol{e}_m = \frac{ \boldsymbol{a'}_m }{ || \boldsymbol{a'}_m || }$
  $\Longrightarrow$ { $\boldsymbol{e}_m$ }

2020-02-01

院試対策〜線形代数:線型空間編

用語
- 線型空間(ベクトル空間)
  
  集合 $\boldsymbol{V}$ の元 $\boldsymbol{x,y,z} \cdots$ が以下の性質を満たす $\boldsymbol{V}$
  (1-1) $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{y}$ の和を定義することができ、それも $\boldsymbol{V}$ の元。( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ )と書く。
  (1-2) $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ = $\boldsymbol{y}$ + $\boldsymbol{x}$
  (1-3) ( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ ) + $\boldsymbol{z}$ = $\boldsymbol{x}$ + ( $\boldsymbol{y}$ + $\boldsymbol{z}$ )
  (1-4)任意の元について $\boldsymbol{0}$ + $\boldsymbol{x}$ = $\boldsymbol{x}$ が成立する元 $\boldsymbol{0}$ が唯一存在。(ゼロベクトル)
  $\quad$ また、それぞれの元 $\boldsymbol{x}$ に対して $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{x'}$ = $\boldsymbol{0}$ となる元 $\boldsymbol{x'}$ が唯一存在。
  $\quad$ - $\boldsymbol{x}$ と書く。
  
  (2-1) 任意の複素数cについてc $\boldsymbol{x}$ を定義でき、それは $\boldsymbol{V}$ の元。 1 $\boldsymbol{x}$ = $\boldsymbol{x}$
  (2-2) c( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ ) = c $\boldsymbol{x}$ + c $\boldsymbol{y}$
  (2-3) (a+b) $\boldsymbol{x}$ = a $\boldsymbol{x}$ + b $\boldsymbol{x}$
  (2-4) (ab) $\boldsymbol{x}$ = a(b $\boldsymbol{x}$ )
- 線形写像
  
  線型空間 $\boldsymbol{V}$ から線型空間 $\boldsymbol{V'}$ への写像Tが、
  
  T( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ ) = T $\boldsymbol{x}$ + T $\boldsymbol{y}$
  T(c $\boldsymbol{x}$ ) = c T $\boldsymbol{x}$
  をみたすT
- 単射
  
  $\boldsymbol{V}$ の相異なる2つの元 $\boldsymbol{x}$ , $\boldsymbol{y}$ の写像T $\boldsymbol{x}$ ,T $\boldsymbol{y}$ がどのような $\boldsymbol{x}$ , $\boldsymbol{y}$ についても異なること。
- 全射
  
  $\boldsymbol{V}$ の元のTによる写像全体を、T( $\boldsymbol{V}$ )と書く。これを $\boldsymbol{V'}$ の部分空間という。
  $\boldsymbol{V'}$ = T( $\boldsymbol{V}$ ) であるとき、Tを $\boldsymbol{V}$ から $\boldsymbol{V'}$ への全射という。
- 逆像
  
  $\boldsymbol{a}$ = T $\boldsymbol{x}$ であるとき、 $\boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{a}$ のTによる逆像という。
- 逆写像
  
  $\boldsymbol{V'}$ から $\boldsymbol{V}$ への写像が存在し、ST ,TSがそれぞれ $\boldsymbol{V}$ の元 $\boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{x}$ 自身に、 $\boldsymbol{V'}$ の元 $\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{a}$ 自身に写す写像であるとき、 SをTの逆写像という。
  S = $T^{-1}$ と書く。
  Tが逆写像であるための必要十分条件はTが全単射(単射かつ全射)であることである。
- 同型写像
  
  $\boldsymbol{V}$ から $\boldsymbol{V'}$ への線形写像が全単射であること。このとき、 $\boldsymbol{V}$ と $\boldsymbol{V'}$ は同型であるといい、 $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$ と表す。
- 線形結合
  
  線型空間 $\boldsymbol{V}$ のベクトル $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ について,複素数 $c_1,c_2, \cdots ,c_n$ とした時の、 $c_1 \boldsymbol{a_1} + c_2 \boldsymbol{a_2} + \cdots + c_n \boldsymbol{a_n}$ のこと。
- 線型独立,線形従属
  
  $c_1 \boldsymbol{a_1} + c_2 \boldsymbol{a_2} + \cdots + c_n \boldsymbol{a_n} = 0$ の時、 $c_1 = c_2 = \cdots = 0$ であるとき、 $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ は線型独立であるという。
  逆に、 $c_1,c_2, \cdots ,c_n$ の少なくとも一つが0でないとき、 $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ は線型従属であるという。
- 有限次元(無限次元)ベクトル空間
  
  線型空間 $\boldsymbol{V}$ の任意のベクトルが、 $\boldsymbol{V}$ に属する有限個(n個)のベクトルの線型結合で表されるとき、 $\boldsymbol{V}$ を有限次元ベクトル空間(n次元ベクトル空間)という。
  また、このnを $\boldsymbol{V}$ の次元といい、dim $\boldsymbol{V}$ = n と表す。n個の線形独立なベクトルを基底という。なお、n次元実ベクトル、複素ベクトルの集合を $\boldsymbol{K^{n}}$ と書く。
  有限次元でない時、無限次元ベクトル空間という。
- 像
  
  $\boldsymbol{V}$ の元すべてについて、そのTによる写像全体がつくる集合。Im T = T( $\boldsymbol{V}$ )と書く。
- 核
  
  { $\boldsymbol{v} | \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}$ , T $( \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}$ }を満たす[tex: \boldsymbol{V} の集合。 $T^{-1}$ ( $\boldsymbol{0}$ ) = Ker Tと書く。
  ImT とKerTはそれぞれ $\boldsymbol{V'}, \boldsymbol{V}$ の部分空間である。
- 階数,退化次数
  
  dim(ImT)を写像Tの階数といい、dim(KerT)をTの退化次数という。
  dim( $\boldsymbol{V}$ ) = n, dim( $\boldsymbol{V'}$ ) = mとすると、
  0 ≤ dim(Im T) ≤ m, 0 ≤ dim(Ker T) ≤ nが成り立つ。
定理
- 定理1 同型の性質(1)
  
  1) $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V}$
  2) $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'} \Rightarrow$ $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$
  3) $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$ , $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V''} \Rightarrow$ $\boldsymbol{V'} \simeq \boldsymbol{V''}$
- 定理2 同型の性質(2)
  
  $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$ でTを $\boldsymbol{V}$ から $\boldsymbol{V'}$ への同型写像とする。
  1)
  $\boldsymbol{V}$ のベクトル $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ が線形独立(従属)なら、 $\boldsymbol{V'}$ のベクトルT $\boldsymbol{(a_1)}$ ,T $\boldsymbol{(a_2)}, \cdots$ ,T $\boldsymbol{(a_n)}$ が線形独立(従属)
  2)
  $dim \boldsymbol{V} = n$ ならば $\boldsymbol{V} \simeq$ $\boldsymbol{K^{n}}$
  3)
  $\boldsymbol{K^{m}}$ と $\boldsymbol{K^{n}}$ はn=mのとき同型であり、n≠mのときは同型ではない。
- 定理3 Im,Kerの性質
  
  1)
  
  Tが全射 $\Longleftrightarrow$ dim(Im T) = m
  Tが単射 $\Longleftrightarrow$ dim(Ker T) = 0
  2)
  
  $dim ( \boldsymbol{V} )$ = dim(Im T) + dim (Ker T)
  3)
  
  dim(Im T) = 対応する行列の階数
  4)
  行列 $A$ の階数と転置行列 $A^{T}$ の階数は等しい。
  5)
  行列の $A$ の階数は、 $A = ( \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_n})$ の線型独立な列ベクトルの数と等しい。
  また、その行列の線型独立な行ベクトルの個数に等しい。
- 定理4
  
  (m,n)型の行列Aの階数がrであるとすると、行列Aの小行列式のうち値が0でないものの最大次数はr
- 定理5 基底の変換
  
  ベクトル空間 $\boldsymbol{V}$ の基底を $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n}$ から $\boldsymbol{e_1}'$ $,\boldsymbol{e_2}',\cdots,\boldsymbol{e_n}'$ に変換するとき,
  ${}$ $$ \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \boldsymbol{e_i} =(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n)} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

${}$ $$ = \sum_{i=1}^{n} x_i \boldsymbol{e_i} =(\boldsymbol{e_1}',\boldsymbol{e_2}',\cdots,\boldsymbol{e_n}') \begin{pmatrix} x_1 ' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{pmatrix} $$

$\qquad$ とし、
${}$ $$ (\boldsymbol{e_1}',\boldsymbol{e_2}',\cdots,\boldsymbol{e_n}') =(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n)} \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} $$

$\qquad$ となるとき、 ${}$ $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 ' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{pmatrix} $$

$\qquad$ となる。この行列 $P = ( p_{ij} )$ を基底の変換行列という。
$\qquad$ また、基底変換前の線形変換行列を $A_T$ とし、基底変換後の線形変換行列を $\qquad$ $A_T '$ とすると、 $A_T ' = P^{-1} A_T P$ となる。

2020-01-31

院試対策〜線形代数:行列式編

用語
- 互換
  
  n個の数の列(1234,,n)を並べ替えたもの( $p_1 p_2 \cdots p_n$ )を順列といい、(1234,,n)を基準として任意の２個の数字のみ入れ替えたものを互換という。
  $q_1$ と $q_2$ を入れ替えた場合、( $q_1 q_2$ )と表す。
- 置換
  
  n個の数の列(1234,,n)を並べ替え( $p_1 p_2 \cdots p_n$ )を得る操作。
  $p_1 = \sigma(1)$ , $p_2 = \sigma(2)$ ,,, $p_n = \sigma(n)$ の時、
  ${}$ $$ σ= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ σ (1) & σ (2) & σ (3) & \cdots & σ (n) \end{pmatrix}
  $$ と表す。また、 ${}$ $$ σ^{-1}= \begin{pmatrix} σ (1) & σ (2) & σ (3) & \cdots & σ (n) \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \end{pmatrix}
  $$
  
  置換は複数の互換と考えられる。
- 偶置換、奇置換
  
  置換が偶数個の互換で得られることを偶置換、置換が奇数個の互換で得られることを奇置換という。
  $\sigma$ が偶(奇)置換なら、 $\sigma^{-1}$ も偶(奇)置換
- 行列式
  
  ${}$ $$ det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
  $$
= $\sum_{\sigma}$ $(-1)^{P_\sigma} a_{1 σ(1)} a_{2 σ(2)} \cdots a_{n σ(n)}$

$\quad \quad \quad det(A) = det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{a_n} )$ とも表すことができる。
- 小行列式
  
  行列Aの第i行、第j列を除いた行列式のこと。
  ${}$ $$ D
  \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}
  $$
と表す。
- 余因子
  
  ${}$ $$ A_{ij} = (-1)^{i + j} D
  \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}
  $$
定理
- 定理1 行列式の性質
  
  1) (行列の線型性(1)) $det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , k \boldsymbol{a_j} , \cdots ,\boldsymbol{a_n} ) = k \hspace{2mm} det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{a_j}, \cdots \boldsymbol{a_n} )$
  2) (行列の線型性(2)) $det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{b_j + c_j} , \cdots ,\boldsymbol{a_n} ) = det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{b_j}, \cdots \boldsymbol{a_n} ) +det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{c_j}, \cdots \boldsymbol{a_n} )$
  3) (行列の交代性)
  $det ( \boldsymbol{a_1} ,\cdots \boldsymbol{a_i} , \cdots , \boldsymbol{a_j} , \cdots ,\boldsymbol{a_n} ) = - det ( \boldsymbol{a_1} ,\cdots , \boldsymbol{a_j} , \cdots , \boldsymbol{a_i}, \cdots \boldsymbol{a_n} )$
  4)
  行列の２つの列または行が一致していれば、行列式の値は０である。
  5)
  もとの行列の行(列)に、他の行(列)の１次結合を加えても行列式の値は変化しない。
  6)
  
  $|AB| = |A| \cdot |B|$
- クラメールの公式
  
  $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ という連立１次方程式の解は、
  
  $x_k = \frac{D_k}{D} \quad D = det(A)$
  
  ${}$ $$ D_k = b_1 A_{1k} + b_2 A_{2k} + \cdots + b_n A_{nk} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}
  $$
- ラプラスの展開(余因子展開）
  
  行列Aの第 $i_1,i_2 \cdots i_n$ 行と第 $j_1,j_2 \cdots j_n$ 列を除いた小行列式を、
  ${}$ $$ D \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} $$
行列Aの第 $i_1,i_2 \cdots i_n$ 行と第 $j_1,j_2 \cdots j_n$ 列で作られる小行列式を、 ${}$
$$ \Delta \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} $$

とすると、

${}$ $$ D = D \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} \Delta \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} $$

用語

不変部分空間

特性多項式

規格化

直交補空間

ユニタリ変換

射影演算子

テンソル積（クロネッカー積)

スペクトル分解

2次形式、エルミート形式

正定値、半正定値

標準形

定理

定理1 固有値問題における対角化

定理2

定理3

定理4

定理5

定理6

定理7

定理8

定理9

2重積分

積分の変数変換

曲線の長さ

線積分

面積分

ベクトルの積分

ベクトル場の線積分

ベクトル場の面積分

定理

定理1 ２重積分の性質

定理2 ガウスの定理

定理3 ストークスの定理

定理4 平面におけるグリーンの定理

用語

全微分

２次の偏導関数

鞍点

スカラー場、ベクトル場

勾配

発散

回転

2変数関数における極限と連続

合成関数の微分

極座標変換

２変数関数のマクローリン展開、テイラー展開

２変数関数の極値

陰関数の微分

ベクトルの微分

定理

定理1

定理2 ２変数関数の極値

定理3 ラグランジュの未定乗数法

定理4 勾配、発散、回転に関する公式

用語

リーマン積分可能

区分的に連続

ディレクレ関数

広義積分

定理

定理1

定理2 定積分の性質

定理3 微積分学の基本定理

定理4 広義積分の存在判定

用語

固有関数

正規直交関係

２乗可積分

軽量線型空間

２乗平均誤差

ベッセルの不等式、パーセバルの等式

完全(完備)

複素フーリエ級数展開

定理

定理1 内積、ノルムの性質

定理2 グラム-シュミットの直交化法

用語

線型空間(ベクトル空間)

線形写像