Beconの備忘録

院試対策〜線形代数:行列式編

用語
- 互換
  
  n個の数の列(1234,,n)を並べ替えたもの( $p_1 p_2 \cdots p_n$ )を順列といい、(1234,,n)を基準として任意の２個の数字のみ入れ替えたものを互換という。
  $q_1$ と $q_2$ を入れ替えた場合、( $q_1 q_2$ )と表す。
- 置換
  
  n個の数の列(1234,,n)を並べ替え( $p_1 p_2 \cdots p_n$ )を得る操作。
  $p_1 = \sigma(1)$ , $p_2 = \sigma(2)$ ,,, $p_n = \sigma(n)$ の時、
  ${}$ $$ σ= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ σ (1) & σ (2) & σ (3) & \cdots & σ (n) \end{pmatrix}
  $$ と表す。また、 ${}$ $$ σ^{-1}= \begin{pmatrix} σ (1) & σ (2) & σ (3) & \cdots & σ (n) \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \end{pmatrix}
  $$
  
  置換は複数の互換と考えられる。
- 偶置換、奇置換
  
  置換が偶数個の互換で得られることを偶置換、置換が奇数個の互換で得られることを奇置換という。
  $\sigma$ が偶(奇)置換なら、 $\sigma^{-1}$ も偶(奇)置換
- 行列式
  
  ${}$ $$ det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
  $$
= $\sum_{\sigma}$ $(-1)^{P_\sigma} a_{1 σ(1)} a_{2 σ(2)} \cdots a_{n σ(n)}$

$\quad \quad \quad det(A) = det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{a_n} )$ とも表すことができる。
- 小行列式
  
  行列Aの第i行、第j列を除いた行列式のこと。
  ${}$ $$ D
  \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}
  $$
と表す。
- 余因子
  
  ${}$ $$ A_{ij} = (-1)^{i + j} D
  \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}
  $$
定理
- 定理1 行列式の性質
  
  1) (行列の線型性(1)) $det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , k \boldsymbol{a_j} , \cdots ,\boldsymbol{a_n} ) = k \hspace{2mm} det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{a_j}, \cdots \boldsymbol{a_n} )$
  2) (行列の線型性(2)) $det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{b_j + c_j} , \cdots ,\boldsymbol{a_n} ) = det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{b_j}, \cdots \boldsymbol{a_n} ) +det ( \boldsymbol{a_1} , \boldsymbol{a_2} , \cdots , \boldsymbol{c_j}, \cdots \boldsymbol{a_n} )$
  3) (行列の交代性)
  $det ( \boldsymbol{a_1} ,\cdots \boldsymbol{a_i} , \cdots , \boldsymbol{a_j} , \cdots ,\boldsymbol{a_n} ) = - det ( \boldsymbol{a_1} ,\cdots , \boldsymbol{a_j} , \cdots , \boldsymbol{a_i}, \cdots \boldsymbol{a_n} )$
  4)
  行列の２つの列または行が一致していれば、行列式の値は０である。
  5)
  もとの行列の行(列)に、他の行(列)の１次結合を加えても行列式の値は変化しない。
  6)
  
  $|AB| = |A| \cdot |B|$
- クラメールの公式
  
  $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ という連立１次方程式の解は、
  
  $x_k = \frac{D_k}{D} \quad D = det(A)$
  
  ${}$ $$ D_k = b_1 A_{1k} + b_2 A_{2k} + \cdots + b_n A_{nk} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}
  $$
- ラプラスの展開(余因子展開）
  
  行列Aの第 $i_1,i_2 \cdots i_n$ 行と第 $j_1,j_2 \cdots j_n$ 列を除いた小行列式を、
  ${}$ $$ D \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} $$
行列Aの第 $i_1,i_2 \cdots i_n$ 行と第 $j_1,j_2 \cdots j_n$ 列で作られる小行列式を、 ${}$
$$ \Delta \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} $$

とすると、

${}$ $$ D = D \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} \Delta \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{n} \end{pmatrix} $$