院試対策〜線形代数:線型空間編

用語
- 線型空間(ベクトル空間)
  
  集合 $\boldsymbol{V}$ の元 $\boldsymbol{x,y,z} \cdots$ が以下の性質を満たす $\boldsymbol{V}$
  (1-1) $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{y}$ の和を定義することができ、それも $\boldsymbol{V}$ の元。( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ )と書く。
  (1-2) $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ = $\boldsymbol{y}$ + $\boldsymbol{x}$
  (1-3) ( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ ) + $\boldsymbol{z}$ = $\boldsymbol{x}$ + ( $\boldsymbol{y}$ + $\boldsymbol{z}$ )
  (1-4)任意の元について $\boldsymbol{0}$ + $\boldsymbol{x}$ = $\boldsymbol{x}$ が成立する元 $\boldsymbol{0}$ が唯一存在。(ゼロベクトル)
  $\quad$ また、それぞれの元 $\boldsymbol{x}$ に対して $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{x'}$ = $\boldsymbol{0}$ となる元 $\boldsymbol{x'}$ が唯一存在。
  $\quad$ - $\boldsymbol{x}$ と書く。
  
  (2-1) 任意の複素数cについてc $\boldsymbol{x}$ を定義でき、それは $\boldsymbol{V}$ の元。 1 $\boldsymbol{x}$ = $\boldsymbol{x}$
  (2-2) c( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ ) = c $\boldsymbol{x}$ + c $\boldsymbol{y}$
  (2-3) (a+b) $\boldsymbol{x}$ = a $\boldsymbol{x}$ + b $\boldsymbol{x}$
  (2-4) (ab) $\boldsymbol{x}$ = a(b $\boldsymbol{x}$ )
- 線形写像
  
  線型空間 $\boldsymbol{V}$ から線型空間 $\boldsymbol{V'}$ への写像Tが、
  
  T( $\boldsymbol{x}$ + $\boldsymbol{y}$ ) = T $\boldsymbol{x}$ + T $\boldsymbol{y}$
  T(c $\boldsymbol{x}$ ) = c T $\boldsymbol{x}$
  をみたすT
- 単射
  
  $\boldsymbol{V}$ の相異なる2つの元 $\boldsymbol{x}$ , $\boldsymbol{y}$ の写像T $\boldsymbol{x}$ ,T $\boldsymbol{y}$ がどのような $\boldsymbol{x}$ , $\boldsymbol{y}$ についても異なること。
- 全射
  
  $\boldsymbol{V}$ の元のTによる写像全体を、T( $\boldsymbol{V}$ )と書く。これを $\boldsymbol{V'}$ の部分空間という。
  $\boldsymbol{V'}$ = T( $\boldsymbol{V}$ ) であるとき、Tを $\boldsymbol{V}$ から $\boldsymbol{V'}$ への全射という。
- 逆像
  
  $\boldsymbol{a}$ = T $\boldsymbol{x}$ であるとき、 $\boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{a}$ のTによる逆像という。
- 逆写像
  
  $\boldsymbol{V'}$ から $\boldsymbol{V}$ への写像が存在し、ST ,TSがそれぞれ $\boldsymbol{V}$ の元 $\boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{x}$ 自身に、 $\boldsymbol{V'}$ の元 $\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{a}$ 自身に写す写像であるとき、 SをTの逆写像という。
  S = $T^{-1}$ と書く。
  Tが逆写像であるための必要十分条件はTが全単射(単射かつ全射)であることである。
- 同型写像
  
  $\boldsymbol{V}$ から $\boldsymbol{V'}$ への線形写像が全単射であること。このとき、 $\boldsymbol{V}$ と $\boldsymbol{V'}$ は同型であるといい、 $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$ と表す。
- 線形結合
  
  線型空間 $\boldsymbol{V}$ のベクトル $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ について,複素数 $c_1,c_2, \cdots ,c_n$ とした時の、 $c_1 \boldsymbol{a_1} + c_2 \boldsymbol{a_2} + \cdots + c_n \boldsymbol{a_n}$ のこと。
- 線型独立,線形従属
  
  $c_1 \boldsymbol{a_1} + c_2 \boldsymbol{a_2} + \cdots + c_n \boldsymbol{a_n} = 0$ の時、 $c_1 = c_2 = \cdots = 0$ であるとき、 $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ は線型独立であるという。
  逆に、 $c_1,c_2, \cdots ,c_n$ の少なくとも一つが0でないとき、 $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ は線型従属であるという。
- 有限次元(無限次元)ベクトル空間
  
  線型空間 $\boldsymbol{V}$ の任意のベクトルが、 $\boldsymbol{V}$ に属する有限個(n個)のベクトルの線型結合で表されるとき、 $\boldsymbol{V}$ を有限次元ベクトル空間(n次元ベクトル空間)という。
  また、このnを $\boldsymbol{V}$ の次元といい、dim $\boldsymbol{V}$ = n と表す。n個の線形独立なベクトルを基底という。なお、n次元実ベクトル、複素ベクトルの集合を $\boldsymbol{K^{n}}$ と書く。
  有限次元でない時、無限次元ベクトル空間という。
- 像
  
  $\boldsymbol{V}$ の元すべてについて、そのTによる写像全体がつくる集合。Im T = T( $\boldsymbol{V}$ )と書く。
- 核
  
  { $\boldsymbol{v} | \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}$ , T $( \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}$ }を満たす[tex: \boldsymbol{V} の集合。 $T^{-1}$ ( $\boldsymbol{0}$ ) = Ker Tと書く。
  ImT とKerTはそれぞれ $\boldsymbol{V'}, \boldsymbol{V}$ の部分空間である。
- 階数,退化次数
  
  dim(ImT)を写像Tの階数といい、dim(KerT)をTの退化次数という。
  dim( $\boldsymbol{V}$ ) = n, dim( $\boldsymbol{V'}$ ) = mとすると、
  0 ≤ dim(Im T) ≤ m, 0 ≤ dim(Ker T) ≤ nが成り立つ。
定理
- 定理1 同型の性質(1)
  
  1) $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V}$
  2) $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'} \Rightarrow$ $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$
  3) $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$ , $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V''} \Rightarrow$ $\boldsymbol{V'} \simeq \boldsymbol{V''}$
- 定理2 同型の性質(2)
  
  $\boldsymbol{V} \simeq \boldsymbol{V'}$ でTを $\boldsymbol{V}$ から $\boldsymbol{V'}$ への同型写像とする。
  1)
  $\boldsymbol{V}$ のベクトル $\boldsymbol{a_1,a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_n}$ が線形独立(従属)なら、 $\boldsymbol{V'}$ のベクトルT $\boldsymbol{(a_1)}$ ,T $\boldsymbol{(a_2)}, \cdots$ ,T $\boldsymbol{(a_n)}$ が線形独立(従属)
  2)
  $dim \boldsymbol{V} = n$ ならば $\boldsymbol{V} \simeq$ $\boldsymbol{K^{n}}$
  3)
  $\boldsymbol{K^{m}}$ と $\boldsymbol{K^{n}}$ はn=mのとき同型であり、n≠mのときは同型ではない。
- 定理3 Im,Kerの性質
  
  1)
  
  Tが全射 $\Longleftrightarrow$ dim(Im T) = m
  Tが単射 $\Longleftrightarrow$ dim(Ker T) = 0
  2)
  
  $dim ( \boldsymbol{V} )$ = dim(Im T) + dim (Ker T)
  3)
  
  dim(Im T) = 対応する行列の階数
  4)
  行列 $A$ の階数と転置行列 $A^{T}$ の階数は等しい。
  5)
  行列の $A$ の階数は、 $A = ( \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_n})$ の線型独立な列ベクトルの数と等しい。
  また、その行列の線型独立な行ベクトルの個数に等しい。
- 定理4
  
  (m,n)型の行列Aの階数がrであるとすると、行列Aの小行列式のうち値が0でないものの最大次数はr
- 定理5 基底の変換
  
  ベクトル空間 $\boldsymbol{V}$ の基底を $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n}$ から $\boldsymbol{e_1}'$ $,\boldsymbol{e_2}',\cdots,\boldsymbol{e_n}'$ に変換するとき,
  ${}$ $$ \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \boldsymbol{e_i} =(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n)} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

${}$ $$ = \sum_{i=1}^{n} x_i \boldsymbol{e_i} =(\boldsymbol{e_1}',\boldsymbol{e_2}',\cdots,\boldsymbol{e_n}') \begin{pmatrix} x_1 ' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{pmatrix} $$

$\qquad$ とし、
${}$ $$ (\boldsymbol{e_1}',\boldsymbol{e_2}',\cdots,\boldsymbol{e_n}') =(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n)} \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} $$

$\qquad$ となるとき、 ${}$ $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 ' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{pmatrix} $$

$\qquad$ となる。この行列 $P = ( p_{ij} )$ を基底の変換行列という。
$\qquad$ また、基底変換前の線形変換行列を $A_T$ とし、基底変換後の線形変換行列を $\qquad$ $A_T '$ とすると、 $A_T ' = P^{-1} A_T P$ となる。