院試対策〜微分積分:積分応用編
2重積分
XY平面上の有界な領域Dで定義されている2変数関数z=f(x,y)について、 Dをおおう格子の矩形小領域の面積 をとした時、
とするとを0に近づけ、Vとvの極限が一致すれば、
計算する際は、まず1つの積分変数についての積分を行って、さらにもう1つの積分変数についての積分を行う(累次積分)
{ }
これらの積分をまとめて多重積分という。積分の変数変換
の変数変換を考えると、なお、
$$ J = \frac{\partial (x,y) }{ \partial (u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial u} & \frac{\partial η }{\partial u} \\ \frac{\partial \xi}{\partial v} & \frac{\partial η }{\partial v} \\ \end{vmatrix} $$
曲線の長さ
XY平面上の関数f(x)で表される曲線について、区間[a,b]の長さsは、
x,yがtの関数として、で与えられるときは、でx = a,でx = bとすると、
線積分
曲線の各点で関数が与えられるとき、
を線積分という。また、
を曲線要素という。 曲線要素は、線上の2つの点の長さを極限に縮めたものであると考えられる。
面積分
Sがz=f(x,y)で与えられた曲面、DはそれをXY平面に写した領域で、曲面S上の各点で関数F(x,y,z)が与えられているとすると、
を面積分という。
また、を曲面要素といい、各微小部分に対応する接平面の面積をどんどん小さくしていった極限であると考えられる。
ベクトルの積分
を積分すると、
ベクトル場の線積分
とし、Aを始点、Bを終点とする曲線Cに沿ってベクトル場が与えられている。また、曲線C上のある点における接線ベクトル(向きが接線方向で大きさ1のベクトル)を,法線ベクトル(向きが法線方向で大きさ1のベクトル)をとする。
このとき、はベクトルの接線方向の成分、はベクトルの法線方向の成分を表し、
ベクトル場の面積分
曲面S上のベクトル場が与えられているとし、曲面上のある点でのベクトルを 、その法線ベクトルを としたとき、
定理