院試対策〜微分積分:積分応用編

  • 2重積分

    XY平面上の有界な領域Dで定義されている2変数関数z=f(x,y)について、 Dをおおう格子の矩形小領域 \Delta D_{ij}の面積 \Delta x_i  \Delta y_j = (x_i - x_{i -1} )( y_i - y_{ij} ) \Delta S_{ij}とした時、


     V = \sum_{1} M_{ij}  \Delta S_{ij}  v = \sum_{2} m_{ij}  \Delta S_{ij}
    とすると \Deltaを0に近づけ、Vとvの極限が一致すれば、

     \iint_{D} f(x,y) dS = \lim_{\Delta → 0} V = \lim_{\Delta → 0} v
    を関数f(x,y)の2重積分といい、dS = dxdyを面積要素という。
    計算する際は、まず1つの積分変数についての積分を行って、さらにもう1つの積分変数についての積分を行う(累次積分)

     \iint_{D} f(x,y) dxdy = \int_{a}^{b}{   \int_{h(x)}^{g(x)} f(x,y) dy }  dx
    なお、積分の順序を変更しても結果は変わらない。

     \iiint_{D} f(x,y,z) dV = \iiint_{D} f(x,y,z) dxdydz
    を3重積分といい、dV=dxdydzを体積要素という。
    これらの積分をまとめて多重積分という。

  • 積分の変数変換

    極座標における2重積分\iint_{D} f(r,\theta) dSと書けるが、面積要素は dS=r dr d \thetaであるから、

    \iint_{D}  f(r,\theta) r dr d \theta
    である。
     x = \xi (u,v) , y = \eta (u,v) の変数変換を考えると、

     dS = |\frac{\partial \xi}{\partial u} \frac{\partial \eta}{\partial v} - \frac{\partial \eta}{\partial u} \frac{\partial \xi}{\partial v} | du dv = J du dv
    なお、

{} $$ J = \frac{\partial (x,y) }{ \partial (u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial \xi}{\partial u} & \frac{\partial η }{\partial u} \\ \frac{\partial \xi}{\partial v} & \frac{\partial η }{\partial v} \\ \end{vmatrix} $$

ヤコビ行列式(ヤコビアン)という。 よって

\iint_{D}  f(x,y) dx dy = \iint_{D'} f(\xi(u,v),\eta(u,v) )|J| dudv
が成り立つ。

  • 曲線の長さ

    XY平面上の関数f(x)で表される曲線について、区間[a,b]の長さsは、


     s  = \int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + ( \frac{dy}{dx} )^{2}  } dx
    x,yがtの関数として、 x = \xi (t),  y = \eta (t) で与えられるときは、 t = \alphaでx = a, t = \betaでx = bとすると、

     s  = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ ( \frac{d \xi}{dt} )^{2} + ( \frac{d \eta}{dt} )^{2}  } dt

  • 積分

    曲線の各点で関数 F(x,y)=F( \xi (t) , \eta(t)  ) が与えられるとき、


      \int_{c} F(x,y) ds = \lim_{n → ∞} \sum_{k = 1}^{n} F_k \Delta s_k
    積分という。また、

     ds = \sqrt{ ( \frac{d \xi}{dt} )^{2} + ( \frac{d \eta}{dt} )^{2}  } dt
    曲線要素という。 曲線要素は、線上の2つの点の長さを極限に縮めたものであると考えられる。

  • 積分

    Sがz=f(x,y)で与えられた曲面、DはそれをXY平面に写した領域で、曲面S上の各点で関数F(x,y,z)が与えられているとすると、


      \int_{S} F(x,y,z) ds = \lim_{n → ∞} \sum_{k = 1}^{n} F_k \Delta s_k
    積分という。
    また、

      dS = |J(u,v) | dudv
    曲面要素といい、各微小部分に対応する接平面の面積をどんどん小さくしていった極限であると考えられる。

  • ベクトルの積分

     \boldsymbol{a}  (t) = a_1 (t) \boldsymbol{i} + a_2 (t) \boldsymbol{j} + a_3 (t) \boldsymbol{k} 積分すると、

     \int \boldsymbol{a}  (t) dt  =  \boldsymbol{i}  \int  a_1 (t) dt +  \boldsymbol{j} \int  a_2 (t) dt+  \boldsymbol{k} \int  a_3 (t) dt
    と、成分ごとの積分で求まる。

  • ベクトル場の線積分

     \boldsymbol{r}  =x  \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k} とし、Aを始点、Bを終点とする曲線Cに沿ってベクトル場が与えられている。また、曲線C上のある点における接線ベクトル(向きが接線方向で大きさ1のベクトル)を \boldsymbol{t},法線ベクトル(向きが法線方向で大きさ1のベクトル)を \boldsymbol{n}とする。
    このとき、 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{t} はベクトル \boldsymbol{v} の接線方向の成分、 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} はベクトル \boldsymbol{v} の法線方向の成分を表し、

     \int_{C} \boldsymbol{v} \cdot   \boldsymbol{t} ds  =  \int_{C} \boldsymbol{v} \cdot  d  \boldsymbol{s}
    積分という。また、 d  \boldsymbol{s}線要素ベクトルという。

  • ベクトル場の面積分

    曲面S上のベクトル場が与えられているとし、曲面上のある点でのベクトルを  \boldsymbol{v} 、その法線ベクトルを \boldsymbol{n} としたとき、

     \iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot   \boldsymbol{n} dS  =  \int_{S} \boldsymbol{v} \cdot  d  \boldsymbol{S}
    積分という。   \boldsymbol{v}を流れの速度場とすると、面積分は外向きに流れ出る流体の総量を与える。また、 d  \boldsymbol{S}面要素ベクトルという。

  • 定理

    • 定理1 2重積分の性質

      1) 線型性
       \iint_{D} {c_1 f(x,y) + c_2 g(x,y)}  dxdy = c_1  \iint_{D} f(x,y) dxdy  +c_2  \iint_{D} g(x,y)  dxdy
      2) 領域の分割
      Dが D_1,D_2に分割されている時、
       \iint_{D}  f(x,y) dxdy = \iint_{D_1}  f(x,y) dxdy  + \iint_{D_2}  f(x,y) dxdy

    • 定理2 ガウスの定理

      (平面のガウスの定理)

       \int_{\Gamma} \boldsymbol{v} \cdot   \boldsymbol{n} ds = \iint\ div  \, \boldsymbol{v} dS
      (3次元空間のガウスの定理)
       \iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot   \boldsymbol{n} dS = \iiint\ div  \, \boldsymbol{v} dV

    • 定理3 ストークスの定理

       \int_{\Gamma} \boldsymbol{v} \cdot   \boldsymbol{t} ds = \iint_{S} ( rot  \, \boldsymbol{v} )  \cdot \boldsymbol{n}dS

    • 定理4 平面におけるグリーンの定理

      ベクトル場を \boldsymbol{t}  = u(x,y) \boldsymbol{i}  + v(x,y) \boldsymbol{j} ,線要素ベクトルを d\boldsymbol{s}  =  \boldsymbol{t} \cdot ds =  dx \boldsymbol{i}  +dy \boldsymbol{j} ,面要素ベクトルを d \boldsymbol{S} = \boldsymbol{n} \cdot dS =  \boldsymbol{n}  dxdy とすると、

       \oint_{\Gamma} (udx + vdy )= \iint_{S} ( \frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}  )dxdy
      グリーンの定理を利用すると、A,Bを結ぶ線積分が経路によらないための必要十分条件は、領域D内で常に   \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} が成り立つことである。