Beconの備忘録

院試対策公式まとめ(微分積分-数列・極限編）

用語
- 三角不等式
  
  $|a + b | \leq | a | + | b |$
  $|a - b | \geq |a| - |b|$
- 収束の定義
  
  $\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $n_\varepsilon \quad$ $s.t. \quad n \geq n_\varepsilon \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |a_n - a| \lt \varepsilon$
  
  このとき、 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$
- Cauchy列
  
  $\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $n_\varepsilon \quad$ $s.t. \quad m,n \geq n_\varepsilon \quad$ $\Longrightarrow$ $\quad |a_m - a_n| \lt \varepsilon$
  を満たす数列
- 上限,下限
  
  数の集合Aについて上界の中で最小のものを上限といい、sup Aと書く。下界の中で最大のものを下限といい、inf Aと書く。
- 実数の連続性の公理
  
  実数全体の集合 $\boldsymbol{R}$ において、上に有界な任意の部分集合Aをとったとき、Aの上限sup Aが $\boldsymbol{R}$ の中に存在する。
- 交代級数
  
  $a_n > 0$ として、
  
  $\sum_{n = 1}^{∞} (-1)^{n-1} a_n$ $\quad = \quad a_1 - a_2 + a_3 - \cdots$
  
  の形で表される級数
- 絶対収束
  
  $\lim_{n \to \infty}|a_n|$ < ∞
  級数が絶対収束すれば、もとの級数も収束する。
- 条件収束
  
  　ある級数が、絶対収束はしないが、収束すること。
- 各点収束
  
  関数列 $f_1 (x), f_2 (x), \cdots , f_n (x), \cdots$ を考える。 $f_n (x)$ が区間[a,b]の全ての点でf(x)に収束するとき、つまり、
  
  $\lim_{n → ∞} f_n (x) = f(x)$
  が成り立つとき、関数列は区間[a,b]で各点収束するという。
- 一様収束
  
  任意の $\epsilon \gt 0$ に対して、xに無関係にεだけで決まる番号Nが存在して、n>Nとなるすべてのnについて $| f_n (x) - f(x) | \lt \epsilon$ となるとき、関数列 $f_1 (x), f_2 (x), \cdots , f_n (x), \cdots$ はf(x)に一様収束するという。
- 関数級数
  
  $\sum_{n = 1}^{∞} f_n (x) = f_1 (x) + f_2 (x) + \cdots$ を関数級数という。この部分和 $S_N (x)$ がS(x)に一様収束するとき、関数級数は一様収束するという。
- べき級数
  
  $\sum_{n = 0}^{∞} a_n x^{n} = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + \cdots$ の形で表される級数のこと。
- 収束半径
  
  $\sum_{n = 0}^{∞} a_n x^{n}$ がx = cで収束するようなcの値の集合を考えその上限をRとしたとき、Rをべき級数の収束半径という。|x| < R となるxに対して $\sum_{n = 0}^{∞} a_n x^{n}$ は絶対収束する。
  収束半径Rのべき級数 $\sum_{n = 0}^{∞} a_n x^{n}$ は以下の性質を持つ。
  1) |x| > R のとき、発散.
  2) |x| < Rでは、絶対収束。また0<Rの時、0<ρ<Rとなるρについて|x|≤ρで一様収束.
  3) R=0のとき、x=0の場合のみ収束.
  4) R=∞のとき、すべてのxに対して収束.
  なお、|x| = Rに関しては不定
  収束半径は、 $R = \lim_{n → ∞} | \frac{a_n}{ a_{n+1} } |$ で与えられる。
定理
- 定理1 （有界単調列の収束）
  
  実数の列{ $a_n$ }が単調に増加し、かつ上に有界であるならば、{ $a_n$ }はある実数 $a$ に収束する。
- 定理2 アルキメデスの原理
  
  任意の正の実数a,bに対して、na > bとなる自然数nが存在する。
- 定理3 区間縮小法
  
  ２つの数列{ $a_n$ }と{ $b_n$ }が、
  
  $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1$
  を満たし、 $\lim_{n → ∞} ( b_n - a_n ) = 0$ が成り立つなら、
  
  $\lim_{n → ∞} a_n = \lim_{n → ∞} b_n = a$
  となる１つの実数aが存在する。
- 定理4 ボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理
  
  有界な数列{ $a_n$ }は収束する部分列をもつ。
- 定理5 $\quad a_n, b_n$ が収束すれば、
  
  1) $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty}b_n$
  
  2) $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n ・ \lim_{n \to \infty}b_n$
  
  3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{ b_n}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n }$
- 定理6
  
  1) deg p は多項式pの次数を表すとする。
  deg p > deg q ならば $\lim_{n \to \infty} \frac{q(n)}{p(n)} = 0$
  
  2) $\lim_{n \to \infty}\frac{n^{k}}{a^{n}} = 0 \quad( k > 0, a > 1)$
  
  3) $\lim_{n \to \infty}\frac{a^{n}}{n!} = 0 \quad(a > 1)$
  
  4) $\lim_{n \to \infty}$ ${\sqrt[n]{n}}= 1$
- 定理7
  
  $a_n$ が単調減少して0に収束していれば、交代級数は収束する。
  またこの級数を第n項で切ったときの部分和の誤差は、 $a_{n+1}$ で抑えられる。
- 定理10 はさみうちの原理
  
  $\lim_{n \to \infty} a_n$ = $\lim_{n \to \infty} b_n = a$ 、
  かつ大きなnに対して $a_n \leq c_n \leq b_n$ が成り立つとき、
  $\lim_{n \to \infty} c_n = a$ が成り立つ。
- 定理8 Cauchyの判定条件
  
  無限級数 $\lim_{n \to \infty} a_n$ が収束するための必要十分条件は、
  $\forall ε > 0$ に対し、nを十分に大きく取れば、 $\forall p \geq 0$ に対して、
  $| \sum_{k = n}^{n + p} a_k |$ < ε
  が成り立つこと。
- 定理9 コーシーの定理
  
  数列{ $a_n$ }が収束するための必要十分条件は、{ $a_n$ }がコーシー列になることである。
- 定理10 級数に関するコーシーの定理
  
  級数 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ が収束するための必要十分条件は、
  
  $\forall ε > 0$ $\quad \exists$ $n_0 \quad$ $s.t. \quad m \gt n \geq n_0$ $\Longrightarrow$ $|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{m} | \lt \varepsilon$
  
  が成立することである。
- 定理11
  
  正項級数 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ が収束するための必要十分条件は、部分和の数列{ $S_n$ }が有界となることがある。
- 定理12
  
  2つの正項級数 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ , $\sum_{n = 1}^{∞} b_n$ に対して、 $a_n \leq K b_n$ (Kは正の定数) が成り立つとき、 $\sum_{n = 1}^{∞} b_n$ が収束すれば、 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ は収束する。また、 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ が発散すれば $\sum_{n = 1}^{∞} b_n$ も発散する。
- 定理13
  
  2つの正項級数 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ , $\sum_{n = 1}^{∞} b_n$ に対して、
  
  $\lim_{n → ∞} \frac{a_n}{b_n} = K$
  となる正定数Kが存在するとき、 $\sum_{n = 1}^{∞} b_n$ が収束(発散)すれば $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ も収束(発散)する。
- 定理14 ダランベールの判定法
  
  正項級数 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ において、
  
  $\lim_{n → ∞} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r$
  のとき、r<1なら $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ は収束し、r>1なら $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ は発散する。
- 定理15 コーシーの判定法
  
  正項級数 $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ において、
  
  $\lim_{n → ∞} a_n^{\frac{1}{n}}= r$
  のとき、r<1なら $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ は収束し、r>1なら $\sum_{n = 1}^{∞} a_n$ は発散する。
- 定理16
  
  区間[a,b]における連続関数列 $f_n (x)$ が関数f(x)に一様収束するとき、
  1) f(x)は連続関数となる。
  2) 極限と積分は交換できる。つまり、
  
  $\lim_{n → ∞} \int_{a}^{b} f_n (x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$
- 定理17
  
  区間[a,b]における連続関数列 $f_n (x)$ が関数f(x)に各点収束し、さらに $f'_n (x)$ が連続でg(x)に一様収束するとき、 $g(x) = f' (x)$ が成り立つ。
- 定理18
  
  区間[a,b]における連続関数列 $f_n (x)$ が $\sum_{n = 1}^{∞} f_n (x)$ がS(x)に一様収束するとき、
  1) S(x)は連続関数となる。
  2) $\int_{a}^{b} S(x)dx = \int_{a}^{b} f_1(x)dx + \int_{a}^{b} f_2(x)dx + \cdots$
- 定理19
  
  区間[a,b]において $f_1(x) + f_2(x) + \cdots$ がS(x)に各点収束し、 $f'_{1} (x) + f'_{2} (x) + \cdots$ の各項が連続で,T(x)に一様収束するとき、S(x)は微分可能であり、S'(x) = T(x)が成り立つ。
- 定理20 ワイエルシュトラスの優級数判定法
  
  区間[a,b]における関数列 $f_n (x)$ が,区間内のすべてのxに対して、
  $| f_n (x) | \leq M_n$
  が成り立ち、正項級数 $\sum_{n = 1}^{∞} M_n$ が収束するとき、関数級数 $\sum_{n = 1}^{∞} f_n (x)$ は一様収束する。

　